Какой объём прямоугольного параллелепипеда с основанием длиной 4 см, углом в 30 градусов между основанием и диагональю

Для решения данной задачи нам необходимо использовать знания геометрии и тригонометрии. Я постараюсь дать пошаговое объяснение для более полного понимания.

1. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с основанием, длиной \(4\) см и неизвестной шириной. Пусть данная ширина равна \(x\) см.

2. Построим треугольник, в котором основание является диагональю прямоугольного параллелепипеда, а один из углов составляет \(30\) градусов. Катетами этого треугольника будут выступать сторона основания прямоугольного параллелепипеда (длина \(4\) см) и половина его ширины (\(\frac{x}{2}\) см). Обозначим гипотенузу этого треугольника как \(d\) см.

3. Используя тригонометрическую функцию синуса, мы можем записать соотношение: \(\sin(30^\circ) = \frac{{\frac{x}{2}}}{{d}}\). Преобразуем это уравнение и найдем гипотенузу \(d\): \(d = \frac{{\frac{x}{2}}}{{\sin(30^\circ)}}\).

4. Теперь рассмотрим плоскость сечения параллелепипеда, на которой образован прямоугольный треугольник с углом в \(60\) градусов между этой плоскостью и плоскостью основания. По теореме Пифагора для этого треугольника имеет место следующее соотношение: \(d^2 = 4^2 + x^2\).

5. Подставим значение \(d\) из пункта 3 в это уравнение: \(\left(\frac{{\frac{x}{2}}}{{\sin(30^\circ)}}\right)^2 = 4^2 + x^2\). Раскроем скобки и проведем необходимые вычисления.

6. Выразим \(x\): \(\frac{{\frac{x^2}{4}}}{{\frac{1}{4}}} = 4^2 + x^2\). Упростим это уравнение и соберем все переменные слева, а числа справа: \(x^2 - \frac{1}{4}x^2 = 16\). Приведем подобные слагаемые и решим полученное уравнение.

7. Решим полученное уравнение для \(x\): \(\frac{3}{4}x^2 = 16\). Умножим обе части уравнения на \(\frac{4}{3}\) и найдем значение \(x\).

8. Подставим найденное значение \(x\) в выражение для длины \(d\) из пункта 3: \(d = \frac{{\frac{x}{2}}}{{\sin(30^\circ)}}\). Подставим значения и выполняем вычисления.

Итак, следуя данным шагам, можно найти значение ширины \(x\) и длины \(d\) параллелепипеда с указанными условиями.