Какой объем производства приведет к максимальной прибыли фирмы, если прибыль (у) зависит от объема производства

Чтобы найти объем производства, при котором фирма получит максимальную прибыль, мы должны найти значение объема производства (x), при котором производная прибыли (y) равна нулю. Для этого выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции прибыли (y) по объему производства (x).

\[y" = \frac{d}{dx}(-x^3 + 21x^2 - 72x - 150)\]

Продифференцировав каждый член функции, получим:

\[y" = -3x^2 + 42x - 72\]

2. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

\[-3x^2 + 42x - 72 = 0\]

Можно решить это уравнение, используя методы факторизации, квадратного трехчлена или дискриминанта. В данном случае, применим метод дискриминанта.

Дискриминант (D) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения.

В уравнении \(-3x^2 + 42x - 72 = 0\) коэффициенты равны:
a = -3, b = 42, c = -72.

Вычислим дискриминант:
\[D = b^2 - 4ac = 42^2 - 4(-3)(-72) = 1764 - 864 = 900\]

3. Вычислим корни уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Подставим значения a, b, c и D:
\[x = \frac{-42 \pm \sqrt{900}}{2(-3)} = \frac{-42 \pm 30}{-6}\]

Таким образом, получаем два возможных значения x:
\[x_1 = \frac{-42 + 30}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2\]
\[x_2 = \frac{-42 - 30}{-6} = \frac{-72}{-6} = 12\]

4. Проверим, являются ли полученные значения критическими точками (точками экстремума). Для этого вычислим значение второй производной функции прибыли в каждой точке x.

Возьмем первую точку x = 2:
\[y"" = \frac{d^2}{dx^2}(-x^3 + 21x^2 - 72x - 150) = -6x + 42\]
\[y""|_{x=2} = -6 \cdot 2 + 42 = 30\]

Возьмем вторую точку x = 12:
\[y""|_{x=12} = -6 \cdot 12 + 42 = -30\]

5. Из результатов вычислений видно, что в точке x = 2 вторая производная положительна, а в точке x = 12 - отрицательна. Это означает, что при x = 2 функция приобретает минимум, а при x = 12 - максимум.

Итак, объем производства (x), который приведет к максимальной прибыли, равен 12.