Какой объем получится при вращении гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника равнобедренного вокруг своей

Чтобы решить данную задачу, нужно использовать формулу для объема вращения фигуры вокруг оси. Формула звучит так: \(V = \pi \cdot \int_a^b f(x)^2 \, dx\), где \(a\) и \(b\) - это границы интегрирования, а \(f(x)\) - это функция, описывающая фигуру.

В нашем случае, гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника будет служить гипотенуза этого треугольника, длина которой равна 6 корням. При вращении этого треугольника вокруг гипотенузы, сформируется тело вращения в форме полуцилиндра.

Радиус этого полуцилиндра будет равен длине гипотенузы, то есть 6 корням. Таким образом, радиус \(r = 6 \sqrt{2}\).

Теперь мы можем записать функцию \(f(x)\), которая описывает фигуру. В данном случае, так как вращаем треугольник вокруг гипотенузы, функция \(f(x)\) будет равна длине гипотенузы для любых значений \(x\). Значит, \(f(x) = 6 \sqrt{2}\) для всех \(x\), лежащих в интервале от 0 до длины гипотенузы.

Теперь мы можем использовать формулу для объема вращения фигуры:

\[V = \pi \cdot \int_0^{\sqrt{2} \cdot 6} (6 \sqrt{2})^2 \, dx\]

Вычислим этот интеграл:

\[V = \pi \cdot \int_0^{\sqrt{2} \cdot 6} 72 \, dx\]

Возьмем интеграл:

\[V = \pi \cdot [72x]_0^{\sqrt{2} \cdot 6}\]

Подставим границы интегрирования:

\[V = \pi \cdot (72 \cdot (\sqrt{2} \cdot 6) - 72 \cdot 0)\]

Упростим выражение:

\[V = 72 \pi \cdot \sqrt{2} \cdot 6\]

Таким образом, объем получившегося тела вращения составит \(72 \pi \cdot \sqrt{2} \cdot 6\). Результат можно упростить, вычислив произведение:

\[V = 432 \pi \cdot \sqrt{2}\]

Итак, объем получится равным \(432 \pi \cdot \sqrt{2}\).