Какой объём конуса получится, если через точку, разделяющую высоту конуса в отношении 1:4 от вершины, провести

Конус - это геометрическое тело, у которого основанием является круг, а боковая поверхность сходится к одной точке, называемой вершиной. Чтобы решить данную задачу, нам потребуется определить формулу для объема конуса и использовать условие о проведении плоскости.

Формула для объема конуса выглядит следующим образом:
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]
где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - число пи (приблизительное значение 3.14), \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса.

В данной задаче нам дано, что высота конуса разделена точкой, находящейся на расстоянии 1 от вершины, и находится на расстоянии 4 от основания конуса. Мы можем представить это следующим образом:

H
|
|---- 4
|---- 1
|
|
|
|----------------- основание конуса

Обозначим высоту конуса как \(H\) и радиус основания как \(R\). Также обозначим расстояние от вершины конуса до точки разделения высоты как \(h_1\) и расстояние от точки разделения высоты до основания конуса как \(h_2\).

Исходя из условия, \(h_1 = 1\) и \(h_2 = 4\). Так как сумма \(h_1\) и \(h_2\) равна общей высоте \(H\), то мы можем записать:
\[H = h_1 + h_2 = 1 + 4 = 5\]

Также, используя подобные треугольники, мы можем установить соотношение между радиусами основания конуса и точки разделения высоты:
\[\frac{R}{r} = \frac{h_1}{h_2}\]
Подставляя известные значения, получаем:
\[\frac{R}{r} = \frac{1}{4}\]
Решая данное уравнение относительно \(R\), получаем:
\[R = \frac{1}{4}r\]

Теперь мы готовы определить объем конуса, используя полученные значения. Подставляя известные величины в формулу, получаем:
\[V = \frac{1}{3} \pi (\frac{1}{4}r)^2 H\]
Упрощая выражение, получаем:
\[V = \frac{1}{48} \pi r^2 H\]

Таким образом, объем конуса, получающийся при проведении параллельной основанию конуса плоскости через точку, разделяющую его высоту в отношении 1:4, равен \(\frac{1}{48} \pi r^2 H\). Ответ понятен и обоснован школьнику.