Какой объем имеет усеченная четырехугольная пирамида с радиусами описанных окружностей равными √2 и 2√2, а угол между

Рассмотрим данную усеченную четырехугольную пирамиду. Угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 45 градусов, поэтому плоскости боковых граней образуют прямой угол со сторонами пирамиды.

Для определения объема пирамиды нам потребуется знание ее высоты. Поскольку описанные радиусы равны √2 и 2√2, мы можем использовать их для вычисления высоты.

Высоту пирамиды можно найти, используя теорему Пифагора. Рассмотрим пирамиду и проведем от центра описанной окружности с радиусом √2, отрезок, перпендикулярный стороне основания пирамиды. Полуоснования получаются равными \(r_1=\sqrt{2}\) и \(r_2=2\sqrt{2}\), где \(r_1\) - радиус меньшей окружности, а \(r_2\) - радиус большей окружности. Полуоснования образуют прямые углы с основанием пирамиды. Обозначим высоту пирамиды как \(h\) и применим теорему Пифагора к полученному прямоугольному треугольнику:

\((h + r_1)^2 = h^2 + r_2^2\)

Раскроем скобки:

\(h^2 + 2hr_1 + r_1^2 = h^2 + r_2^2\)

Упростим выражение:

\(2hr_1 = r_2^2 - r_1^2\)

Подставим значения радиусов:

\(2h\sqrt{2} = (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2\)

\(2h\sqrt{2} = 8 - 2\)

\(2h\sqrt{2} = 6\)

Теперь найдем высоту пирамиды \(h\):

\(h = \frac{6}{2\sqrt{2}}\)

\(h = \frac{6}{2\cdot\sqrt{2}}\)

\(h = \frac{6}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(h = 3\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(h = \frac{3}{\sqrt{2}}\)

А теперь, используя найденную высоту \(h\), можем вычислить объем пирамиды. Объем пирамиды можно найти по формуле:

\(V = \frac{1}{3}S \cdot h\)

где \(S\) - площадь основания пирамиды.

Основание пирамиды - это четырехугольник, описанный около большей окружности. Площадь основания мы найдем, разбив ее на два треугольника.

\[S = S_1 + S_2\]

Рассмотрим сначала \(S_1\). Он может быть найден с помощью формулы площади треугольника:

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot r_1 \cdot AB\]

где \(r_1\) - радиус меньшей окружности, \(AB\) - длина одного из сторон четырехугольника.

Подставим значения и найдем \(S_1\):

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot AB\]

\[S_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot AB\]

Теперь рассмотрим \(S_2\). Он может быть найден также с помощью формулы площади треугольника:

\[S_2 = \frac{1}{2} \cdot r_2 \cdot BC\]

где \(r_2\) - радиус большей окружности, \(BC\) - длина одного из сторон четырехугольника.

Подставим значения и найдем \(S_2\):

\[S_2 = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot BC\]

\[S_2 = \sqrt{2} \cdot BC\]

Теперь найдем объем \(V\) пирамиды с помощью полученных значений:

\[V = \frac{1}{3} \cdot (S_1 + S_2) \cdot h\]

Подставим значения и посчитаем:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot AB + \sqrt{2} \cdot BC\right) \cdot \frac{3}{\sqrt{2}}\]

\[V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot AB + \sqrt{2} \cdot BC\right) \cdot \frac{3}{\sqrt{2}}\]

\[V = \frac{\sqrt{2}}{6} \cdot AB + \frac{\sqrt{2}}{6} \cdot 2BC\]

\[V = \frac{\sqrt{2}}{6} \cdot AB + \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot BC\]

Таким образом, объем усеченной четырехугольной пирамиды составляет \(\frac{\sqrt{2}}{6} \cdot AB + \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot BC\).