Какой объем имеет усеченная четырехугольная пирамида с радиусами описанных окружностей равными √2 и 2√2, а угол между

Рассмотрим данную усеченную четырехугольную пирамиду. Угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 45 градусов, поэтому плоскости боковых граней образуют прямой угол со сторонами пирамиды.

Для определения объема пирамиды нам потребуется знание ее высоты. Поскольку описанные радиусы равны √2 и 2√2, мы можем использовать их для вычисления высоты.

Высоту пирамиды можно найти, используя теорему Пифагора. Рассмотрим пирамиду и проведем от центра описанной окружности с радиусом √2, отрезок, перпендикулярный стороне основания пирамиды. Полуоснования получаются равными $r_1=\sqrt{2}$ и $r_2=2\sqrt{2}$, где $r_1$ - радиус меньшей окружности, а $r_2$ - радиус большей окружности. Полуоснования образуют прямые углы с основанием пирамиды. Обозначим высоту пирамиды как $h$ и применим теорему Пифагора к полученному прямоугольному треугольнику:

$(h+r_1{)}^2=h^2+r_2^2$

Раскроем скобки:

$h^2+2h{r}_1+r_1^2=h^2+r_2^2$

Упростим выражение:

$2h{r}_1=r_2^2-r_1^2$

Подставим значения радиусов:

$2h\sqrt{2}=(2\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2$

$2h\sqrt{2}=8-2$

$2h\sqrt{2}=6$

Теперь найдем высоту пирамиды $h$:

$h=\frac{6}{2\sqrt{2}}$

$h=\frac{6}{2\cdot \sqrt{2}}$

$h=\frac{6}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

$h=3\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

$h=\frac{3}{\sqrt{2}}$

А теперь, используя найденную высоту $h$, можем вычислить объем пирамиды. Объем пирамиды можно найти по формуле:

$V=\frac{1}{3}S\cdot h$

где $S$ - площадь основания пирамиды.

Основание пирамиды - это четырехугольник, описанный около большей окружности. Площадь основания мы найдем, разбив ее на два треугольника.

$$S=S_1+S_2$$

Рассмотрим сначала $S_1$. Он может быть найден с помощью формулы площади треугольника:

$$S_1=\frac{1}{2}\cdot r_1\cdot AB$$

где $r_1$ - радиус меньшей окружности, $AB$ - длина одного из сторон четырехугольника.

Подставим значения и найдем $S_1$:

$$S_1=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot AB$$

$$S_1=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot AB$$

Теперь рассмотрим $S_2$. Он может быть найден также с помощью формулы площади треугольника:

$$S_2=\frac{1}{2}\cdot r_2\cdot BC$$

где $r_2$ - радиус большей окружности, $BC$ - длина одного из сторон четырехугольника.

Подставим значения и найдем $S_2$:

$$S_2=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot BC$$

$$S_2=\sqrt{2}\cdot BC$$

Теперь найдем объем $V$ пирамиды с помощью полученных значений:

$$V=\frac{1}{3}\cdot (S_1+S_2)\cdot h$$

Подставим значения и посчитаем:

$$V=\frac{1}{3}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot AB+\sqrt{2}\cdot BC)\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}$$

$$V=\frac{1}{3}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot AB+\sqrt{2}\cdot BC)\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}$$

$$V=\frac{\sqrt{2}}{6}\cdot AB+\frac{\sqrt{2}}{6}\cdot 2BC$$

$$V=\frac{\sqrt{2}}{6}\cdot AB+\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot BC$$

Таким образом, объем усеченной четырехугольной пирамиды составляет $\frac{\sqrt{2}}{6}\cdot AB+\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot BC$.