Какой объем имеет пирамида, в которой все боковые ребра равны 2 корня из 7, а в основании находится равнобедренный

Чтобы найти объем пирамиды, мы сначала должны найти площадь основания, а затем использовать формулу для объема пирамиды. Давайте начнем с вычисления площади основания.

В данной задаче основание пирамиды - равнобедренный треугольник. У нас есть боковая сторона треугольника, которая равна 4, и угол при основании, который равен 30 градусам. Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу:

\[Площадь = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C)\]

где
- \(a\) и \(b\) - длины двух сторон треугольника,
- \(C\) - угол между этими сторонами в радианах.

У нас есть равнобедренный треугольник, поэтому две стороны, смежные с углом при основании, равны 4, а угол при основании равен 30 градусам. Поскольку угол измеряется в радианах, нам нужно преобразовать 30 градусов в радианы:

\[30^\circ = \frac{\pi}{180} \times 30 = \frac{\pi}{6} \text{ радиан}\]

Теперь, используя формулу для площади треугольника, мы можем вычислить площадь основания:

\[Площадь = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 8 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 2 \text{ квадратных единицы}\]

Теперь, когда у нас есть площадь основания, мы можем найти объем пирамиды. Формула для вычисления объема пирамиды:

\[Объем = \frac{1}{3} \times S_{основания} \times h\]

где
- \(S_{основания}\) - площадь основания,
- \(h\) - высота пирамиды.

Нам дано, что все боковые ребра пирамиды равны \(2 \sqrt{7}\). Поскольку основание пирамиды - равнобедренный треугольник, высота пирамиды будет проходить через его вершину, перпендикулярно плоскости основания. Поэтому высота равнобедренного треугольника равна биссектрисе, и мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления высоты.

Для равнобедренного треугольника с основанием \(a\) и равными боковыми сторонами \(b\), высота \(h\) может быть найдена с помощью следующей формулы:

\[h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}\]

В нашем случае, основание равнобедренного треугольника имеет длину 4, а боковые стороны пирамиды равны \(2 \sqrt{7}\). Подставим значения в формулу:

\[h = \sqrt{(2 \sqrt{7})^2 - \frac{4^2}{4}} = \sqrt{28 - 4} = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}\]

Теперь, используя значения площади основания и высоты, мы можем найти объем пирамиды:

\[Объем = \frac{1}{3} \times 2 \times 2 \times 6 = \frac{1}{3} \times 2 \times 12 = 8 \text{ кубических единиц}\]

Таким образом, объем пирамиды равен 8 кубическим единицам.