Какой объем и площадь поверхности будет у фигуры, полученной вращением прямоугольного треугольника вокруг

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать формулы для нахождения объема и площади поверхности фигур, полученных вращением.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник с катетом длиной 12 см и гипотенузой, которую обозначим как \(c\).

Для начала, найдем второй катет треугольника, который является его основанием. Для этого можно воспользоваться формулой Пифагора:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

где \(a\) и \(b\) - катеты треугольника.

Так как один катет равен 12 см, а гипотенуза неизвестна, мы можем записать уравнение следующим образом:

\[12^2 + b^2 = c^2\]

Теперь, найдем значение \(c\). Для этого возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[\sqrt{12^2 + b^2} = c\]

После этого, мы уже можем использовать это значение \(c\) для дальнейших вычислений.

1. Площадь поверхности фигуры:

Для нахождения площади поверхности фигуры, мы можем использовать формулу:

\[S = 2\pi rh\]

где \(r\) - радиус окружности, по которой происходит вращение, а \(h\) - высота фигуры.

В нашем случае, радиус равен длине катета, то есть \(r = 12\) см. А высота фигуры равна гипотенузе, которую мы уже нашли и обозначили как \(c\).

Таким образом, площадь поверхности будет:

\[S = 2\pi \cdot 12 \cdot c\]

2. Объем фигуры:

Для нахождения объема фигуры, нам понадобится формула:

\[V = \pi r^2 h\]

где \(r\) - радиус окружности, по которой происходит вращение, а \(h\) - высота фигуры.

В нашем случае, радиус также равен длине катета, то есть \(r = 12\) см. Высота фигуры та, же что и в формуле для площади поверхности, то есть \(h = c\).

Таким образом, объем фигуры будет:

\[V = \pi \cdot 12^2 \cdot c\]

Вот все решение. Подставьте значение гипотенузы, которое вы нашли, в формулы для площади поверхности и объема, чтобы получить окончательные ответы.