Какой коэффициент трения шайбы о поверхность горки, если она начинает скатываться без начальной скорости и угол наклона

Для решения данной задачи нам понадобится знание законов Ньютона и принципа сохранения энергии.

1. Найдем время соскальзывания без трения:
По принципу сохранения энергии можем записать, что полная механическая энергия системы, состоящей из шайбы и Земли, сохраняется в течение всего движения. В начальный момент времени у шайбы только потенциальная энергия, а в конечный момент времени только кинетическая энергия.

Потенциальная энергия в начальный момент времени:
\(E_{p1} = mgh\), где m - масса шайбы, g - ускорение свободного падения (приближенно равно 9,8 м/с\(^2\)), h - высота горки, которая равна \(h = 0\) (так как горка начинается без начальной скорости).

Кинетическая энергия в конечный момент времени:
\(E_{k2} = \frac{1}{2}mv^2\), где v - скорость шайбы в конечный момент времени.

Приравниваем потенциальную энергию и кинетическую энергию:
\(E_{p1} = E_{k2}\)
\(mgh = \frac{1}{2}mv^2\)
\(gh = \frac{1}{2}v^2\)
\(v = \sqrt{2gh}\)

Время соскальзывания без трения:
\(t_1 = \frac{h}{v} = \frac{h}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\frac{h}{2g}}\)

2. Найдем время соскальзывания с трением:
Дано, что время соскальзывания с трением в два раза больше времени соскальзывания без трения, значит \(t_{\text{с трением}} = 2t_{\text{без трения}}\).
Тогда \(t_{\text{с трением}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{h}{2g}} = \sqrt{\frac{4h}{g}} = \frac{2\sqrt{h}}{\sqrt{g}}\)

3. Найдем коэффициент трения:
Известно, что \(tg(\beta) = \frac{\text{противоположная}}{\text{прямоугольная}}\) сторона треугольника, поэтому можно записать \(tg(\beta) = \frac{h}{l}\), где l - длина горки.
Тогда из уравнения в условии задачи получаем:
\(tg(\beta) = \frac{h}{l} = \frac{\text{противоположная}}{\text{прямоугольная}} = \frac{h}{l}\)
\(tg(\beta) - \frac{1}{3} = \frac{h}{l} - \frac{1}{3}\)
\(tg(\beta) - \frac{1}{3} = \frac{h- \frac{l}{3}}{l} = \frac{2h + \frac{2l}{3}}{l}\)
\(tg(\beta) - \frac{1}{3} = \frac{2h}{l} + \frac{2}{3}\)
\(tg(\beta) = \frac{2h}{l} + \frac{2}{3} + \frac{1}{3}\)
\(tg(\beta) = \frac{2h}{l} + 1\)
\(tg(\beta) - 1 = \frac{2h}{l}\)
\(l = \frac{2h}{tg(\beta) - 1}\)

Подставляем найденное значение длины горки в выражение для времени соскальзывания с трением:
\(t_{\text{с трением}} = \frac{2\sqrt{h}}{\sqrt{g}} = \frac{2\sqrt{h}}{\sqrt{9.8}} = \frac{2\sqrt{h}}{3.13}\)

Подставляем также время соскальзывания без трения, соответствующее найденной длине горки:
\(t_{1} = \sqrt{\frac{h}{2g}} = \sqrt{\frac{h}{2 \cdot 9.8}} = \sqrt{\frac{h}{19.6}}\)

Из условия задачи можно записать, что \(t_{\text{с трением}} = 2 t_{1}\):
\(\frac{2\sqrt{h}}{3.13} = 2 \sqrt{\frac{h}{19.6}}\)
\(\frac{\sqrt{h}}{3.13} = \sqrt{\frac{h}{19.6}}\)
\(\frac{h}{3.13^2} = \frac{h}{19.6}\)
\(\frac{h}{9.7985} = \frac{h}{19.6}\)
\(9.7985 = 19.6\)

Очевидно, что данное уравнение не имеет решения, так как получилось неравенство. Следовательно, такой коэффициент трения не может быть найден.

Таким образом, ответ на задачу - такого коэффициента трения не существует.