Какой коэффициент получится при разложении выражения (a+b)^10 и взятии шестого члена по формуле бинома Ньютона?

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам потребуется формула бинома Ньютона и знание того, как применить ее. Формула бинома Ньютона гласит:

\[(a+b)^n = \binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \ldots + \binom{n}{n-1} a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n} a^0 b^n\]

где \(\binom{n}{k}\) обозначает биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Теперь решим задачу с учетом этой информации. Нам нужно найти шестой член при разложении выражения \((a+b)^{10}\). В данном случае, \(n = 10\) и мы хотим найти коэффициент перед \(a^4 b^2\) в разложении.

Используя формулу бинома Ньютона, мы должны найти биномиальный коэффициент \(\binom{10}{4}\):

\[\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!}\]

Вычислим числитель и знаменатель:

\[10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3,628,800\]
\[4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\]
\[(10-4)! = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720\]

Теперь, подставим значения в формулу биномиального коэффициента:

\[\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{3,628,800}{24 \cdot 720} = 210\]

Таким образом, коэффициент перед \(a^4 b^2\) в разложении \((a+b)^{10}\) будет равен 210.

Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам понять, как найти данный коэффициент.