Какой из цилиндров содержит газ с меньшей внутренней энергией, при условии, что масса газа одинакова? (Температура газа

Чтобы определить, какой из цилиндров содержит газ с меньшей внутренней энергией, мы должны учитывать формулу внутренней энергии, которая связана с температурой и числом молекул газа.

Формула внутренней энергии газа можно записать как:

\[E = \frac{3}{2} \cdot N \cdot k \cdot T\]

Где:
- \(E\) - внутренняя энергия газа,
- \(N\) - число молекул газа,
- \(k\) - постоянная Больцмана (\(k = 1,38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К}\)),
- \(T\) - температура газа.

Условие задачи говорит, что масса газа в обоих цилиндрах одинакова. Из эмпирической формулы для массы газа, связанной с числом молекул и молярной массой, мы можем сделать вывод, что число молекул пропорционально числу атомов и обратно пропорционально молярной массе:

\[N \propto \frac{m}{M}\]

Где:
- \(m\) - масса газа,
- \(M\) - молярная масса газа.

Таким образом, для обоих цилиндров \(N\) одинаково, а следовательно, мы можем упростить выражение для внутренней энергии:

\[E = \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{m}{M}\right) \cdot k \cdot T\]

Теперь, чтобы определить, какой из цилиндров содержит газ с меньшей внутренней энергией, нам нужно сравнить значения внутренней энергии для обоих цилиндров при одинаковой массе газа и температуре.

Давайте представим, что у нас есть два цилиндра с различными радиусами \(r_1\) и \(r_2\) и высотами \(h_1\) и \(h_2\) (площадь основания цилиндра определяется формулой \(\pi r^2\)). Предположим, что цилиндры содержат одинаковую массу газа, что означает, что их молярные массы \(M_1\) и \(M_2\) также одинаковы.

Значит, мы можем сравнить внутреннюю энергию обоих цилиндров, используя формулу:

\[
\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{3}{2} \cdot \left(\frac{m}{M_1}\right) \cdot \left(\pi r_1^2\right) \cdot h_1 \cdot k \cdot T}{\frac{3}{2} \cdot \left(\frac{m}{M_2}\right) \cdot \left(\pi r_2^2\right) \cdot h_2 \cdot k \cdot T}
\]

Здесь \(E_1\) и \(E_2\) - внутренние энергии для первого и второго цилиндров соответственно.

Для дальнейшего упрощения выражения, мы можем сократить некоторые общие множители:

\[
\frac{E_1}{E_2} = \frac{\left(\frac{m}{M_1}\right) \cdot \left(\pi r_1^2\right) \cdot h_1}{\left(\frac{m}{M_2}\right) \cdot \left(\pi r_2^2\right) \cdot h_2}
\]

После сокращения массы газа и числа Пи, мы получим:

\[
\frac{E_1}{E_2} = \frac{r_1^2 \cdot h_1}{r_2^2 \cdot h_2}
\]

Таким образом, если \(\frac{E_1}{E_2} < 1\), то внутренняя энергия газа в первом цилиндре меньше, иначе, если \(\frac{E_1}{E_2} > 1\), то внутренняя энергия газа во втором цилиндре меньше. Если \(\frac{E_1}{E_2} = 1\), то внутренняя энергия газа в обоих цилиндрах одинакова.

Таким образом, мы можем использовать значения радиусов и высот цилиндров, чтобы определить, какой из них содержит газ с меньшей внутренней энергией. Просто рассчитайте отношение \(\frac{E_1}{E_2}\), используя заданные значения радиусов и высот, и проанализируйте его значение. Если оно меньше 1, то первый цилиндр содержит газ с меньшей внутренней энергией, если оно больше 1, то второй цилиндр содержит газ с меньшей внутренней энергией, если оно равно 1, то в обоих цилиндрах внутренняя энергия газа одинакова.