Какой энергии должны иметь фотоны, чтобы при проведении комптоновского рассеяния на покоящемся свободном электроне

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать законы сохранения энергии и импульса. Давайте разберемся пошагово.

1. Рассмотрим начальное состояние системы: фотон и свободный электрон. Пусть начальная энергия фотона составляет \(E_1\), начальная длина волны фотона будет обозначаться как \(\lambda_1\). Следовательно, энергия и импульс фотона составляют:

\[
\begin{align*}
E_1 &= \frac{hc}{\lambda_1} \quad \text{(1)} \\
p_1 &= \frac{h}{\lambda_1} \quad \text{(2)}
\end{align*}
\]

где \(h\) - постоянная Планка, \(c\) - скорость света.

2. После комптоновского рассеяния длина волны излучения удваивается. Пусть конечная длина волны фотона будет обозначаться как \(\lambda_2 = 2\lambda_1\). Разложим фотон и электрон по компонентам:

\[
\begin{align*}
\text{Фотон после рассеяния:} & \quad E_2, \lambda_2 \\
\text{Электрон после рассеяния:} & \quad E", p"
\end{align*}
\]

3. Используя формулу для энергии фотона после рассеяния, получаем:

\[
E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} = \frac{hc}{2\lambda_1}
\]

4. Закон сохранения энергии требует, чтобы начальная энергия фотона равнялась сумме энергии фотона после рассеяния и энергии рассеянного электрона:

\[
E_1 = E_2 + E"
\]

5. Теперь рассмотрим закон сохранения импульса. Импульс фотона после рассеяния можно найти, используя формулу:

\[
p_2 = \frac{h}{\lambda_2} = \frac{h}{2\lambda_1}
\]

6. Учитывая, что импульс электрона после рассеяния равен \(p"\), закон сохранения импульса требует, чтобы начальный импульс фотона равнялся сумме импульса фотона после рассеяния и импульса рассеянного электрона:

\[
p_1 = p_2 + p"
\]

7. Подставим значения \(E_2\) и \(p_2\) в уравнения (4) и (6):

\[
\frac{hc}{\lambda_1} = \frac{hc}{2\lambda_1} + E" \quad \text{(4)}
\]

\[
\frac{h}{\lambda_1} = \frac{h}{2\lambda_1} + p" \quad \text{(6)}
\]

8. Из уравнения (6) получаем:

\[
p" = \frac{h}{2\lambda_1}
\]

9. Подставляем значение \(p"\) в уравнение (4):

\[
\frac{hc}{\lambda_1} = \frac{hc}{2\lambda_1} + \frac{h^2}{2\lambda_1^2}
\]

10. Упрощаем данное уравнение:

\[
2hc\lambda_1 = hc + \frac{h^2}{\lambda_1}
\]

11. Приводим подобные члены и упрощаем уравнение:

\[
\lambda_1^2 - \lambda_1 - \frac{hc}{2\pi} = 0
\]

12. Решаем полученное квадратное уравнение относительно \(\lambda_1\):

\[
\lambda_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -\frac{hc}{2\pi}\).

13. Подставляем значения и решаем уравнение:

\[
\lambda_1 = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot -\frac{hc}{2\pi}}}{2 \cdot 1}
\]

\[
\lambda_1 = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 2\pi \cdot \frac{hc}{2}}}{2}
\]

14. Упрощаем уравнение:

\[
\lambda_1 = \frac{1 \pm \sqrt{1 + \pi \cdot \frac{hc}{2}}}{2}
\]

15. Итак, мы получили два значения для \(\lambda_1\). Выбираем тот, который положительный и удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, в данной задаче мы не можем точно определить, какую энергию должны иметь фотоны для удвоения длины волны при комптоновском рассеянии под углом 90 градусов без дополнительных данных. Нам необходимо знать хотя бы одну из величин: начальную энергию фотона или начальную длину волны фотона.