Какой должен быть ток, пропущенный через горизонтальный проводник длиной 1 м и массой 50 г, чтобы две пружины

Задача: Какой должен быть ток, пропущенный через горизонтальный проводник длиной 1 м и массой 50 г, чтобы две пружины с коэффициентом жесткости 40 Н/м остались в исходном недеформированном состоянии при индукции магнитного поля.

Для решения этой задачи мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа, который гласит, что магнитное поле от текущих элементов длиной dl в проводнике определяется следующей формулой:

\[d\vec{B} = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot d\vec{l} \times \vec{r}}}{4\pi r^3}\]

Где:
\(d\vec{B}\) - магнитное поле от текущего элемента проводника,
\(\mu_0\) - магнитная постоянная,
\(I\) - ток,
\(d\vec{l}\) - элементарный участок проводника,
\(\vec{r}\) - радиус-вектор, направленный от элементарного участка проводника к точке, где мы измеряем магнитное поле,
\(r\) - расстояние от элементарного участка проводника до точки, где мы измеряем магнитное поле.

В данной задаче, у нас есть проводник длиной 1 метр и массой 50 г. Мы также знаем, что пружины должны остаться в исходном недеформированном состоянии, что разрешает нам использовать уравнение равновесия для горизонтальной силы \(F = k \cdot x\), где \(k\) - коэффициент жесткости пружины, а \(x\) - удлинение пружины.

После установления равновесия силообразующие проводники находятся на расстоянии \(r\) друг от друга с равными и противоположными направлениями тока. Изменение магнитного потока через отдельную пружину должно быть равным нулю, так как он должен оставаться в исходной недеформированной конфигурации. Таким образом, сумма изменений магнитного поля через каждую пружину должна быть равна нулю.

Так как проводник горизонтален, то радиус-вектор \(\vec{r}\) будет перпендикулярен проводнику и будет иметь одинаковое расстояние до обоих пружин. Значит, сила магнитного поля от обоих проводников будет сбалансирована, и изменение магнитного поля через каждую пружину будет одинаковым.

Теперь найдем изменение магнитного поля через одну пружину:

\[\Delta B = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot l \cdot \sin(\theta)}}{{4\pi r^2}}\]

Где:
\(\Delta B\) - изменение магнитного поля через одну пружину,
\(I\) - ток через проводник,
\(l\) - длина проводника (1 метр),
\(\theta\) - угол между проводником и радиус-вектором \(\vec{r}\).

Так как сумма изменений магнитного поля через каждую пружину должна быть равна нулю, то:

\[2 \cdot \Delta B = 0\]

Подставляя значение \(\Delta B\) получаем:

\[\frac{{2 \cdot \mu_0 \cdot I \cdot l \cdot \sin(\theta)}}{{4\pi r^2}} = 0\]

Мы знаем, что \(\sin(\theta)\) равен 1, так как радиус-вектор \(\vec{r}\) перпендикулярен проводнику и угол между ними \(90^\circ\). Преобразуя уравнение, получаем:

\[\frac{{2 \cdot \mu_0 \cdot I \cdot l}}{{4\pi r^2}} = 0\]

Сокращаем выражение:

\[\frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2 \cdot r^2}} = 0\]

Выражая ток \(I\), получаем:

\[I = 0\]

Таким образом, чтобы две пружины с коэффициентом жесткости 40 Н/м остались в исходном недеформированном состоянии при индукции магнитного поля, ток, пропущенный через горизонтальный проводник, должен быть равен нулю.