Какой будет остаток от деления (x^5 - 1) на (х-3)?

Давайте решим эту задачу. Мы хотим найти остаток от деления \(x^5 - 1\) на \(x - 3\).

Для решения таких задач мы можем воспользоваться "теоремой остатков" или "алгоритмом деления". Этот алгоритм позволяет нам разделить один многочлен на другой и найти остаток.

Давайте выполним следующие шаги:

1. Распишем многочлен \(x^5 - 1\) в виде \(x^5 - 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x - 1\), чтобы учесть отсутствующие степени \(x\).

2. Начнем деление. Посмотрим на первое слагаемое \(x^5\). Как мы можем получить такое слагаемое? Для этого нам нужно умножить \(x^4\) на \(x - 3\).

Таким образом, первое слагаемое \(x^5\) можно получить из \(x^4(x - 3)\). Умножим \(x^4\) на \(x\) и получим \(x^5\), а затем умножим \(x^4\) на \(-3\) и получим \(-3x^4\). Таким образом, первое слагаемое можно записать как \(x^4(x - 3) + (-3x^4)\).

3. Вычтем первое слагаемое \(x^5\) из многочлена \(x^5 - 1\). Получим:

\[(x^5 - 1) - [x^4(x - 3) + (-3x^4)]\]

Делаем сокращения и получаем:

\[-1 + 3x^4\]

4. Теперь приступим ко второму слагаемому \(3x^4\). Как мы можем получить это слагаемое? Для этого нам нужно умножить \(3x^3\) на \(x - 3\).

Второе слагаемое \(3x^4\) можно выразить как \(3x^3(x - 3) + (-9x^3)\).

5. Вычтем второе слагаемое \(3x^4\) из предыдущего результата \(-1 + 3x^4\):

\[(-1 + 3x^4) - [3x^3(x - 3) + (-9x^3)]\]

Делаем сокращения:

\[-1 + 3x^4 - 3x^3(x - 3) + 9x^3\]

6. Продолжим этот процесс постепенного вычитания и умножения. На каждом шаге вычитаем слагаемое, которое мы получаем, умножая следующую степень \(x\) на \(x - 3\).

7. В конце получим остаток от деления. Выражение станет таким:

\[-1 + 3x^4 - 3x^3(x - 3) + 9x^3 - 9x^2(x - 3) + 27x^2 - 27x(x - 3) + 81x - 81\]

Данное выражение больше не делится на \(x - 3\), поэтому оно и будет являться остатком.

Таким образом, остаток от деления многочлена \(x^5 - 1\) на \(x - 3\) равен \(-1 + 3x^4 - 3x^3(x - 3) + 9x^3 - 9x^2(x - 3) + 27x^2 - 27x(x - 3) + 81x - 81\).