⦁ Какой будет остаток от деления 2100 на 101? ⦁ Найдите остаток от деления 1989·1990·1991 + 19922 на 7. ⦁ Как найти

Конечно! Вот подробные решения по задачам:

1. Какой будет остаток от деления 2100 на 101?
Решение: Мы можем применить деление с остатком, чтобы найти ответ. Деление 2100 на 101 дает частное 20 и остаток 80. Таким образом, остаток от деления 2100 на 101 равен 80.

2. Найдите остаток от деления 1989·1990·1991 + 19922 на 7.
Решение: Применим метод сокращений для упрощения выражения. Начнем с остатка от деления каждого из чисел на 7.
1989 ÷ 7 = 284 и остаток 1
1990 ÷ 7 = 284 и остаток 2
1991 ÷ 7 = 284 и остаток 3
1992 ÷ 7 = 284 и остаток 4

Заметим, что остатки от деления чисел 1989, 1990, 1992 на 7 образуют последовательность 1, 2, 4. Для упрощения дальнейших вычислений, найдем остаток от деления 1992 на 3.
1992 ÷ 3 = 664 и остаток 0

Теперь мы можем составить выражение для исходного выражения, заменяя числа их остатками от деления на 7:
(1·2·4 + 0) ÷ 7 = 8 ÷ 7 = 1 и остаток 1.

Таким образом, остаток от деления выражения 1989·1990·1991 + 19922 на 7 равен 1.

3. Как найти наибольший общий делитель чисел 2n + 13 и n + 7?
Решение: Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) этих двух чисел, мы можем использовать алгоритм Евклида. Поэтапно делим большее число на меньшее, затем делим остаток от деления на предыдущий делитель, и так далее, до тех пор, пока не получим ноль. Тогда последний ненулевой делитель и будет НОД.

Запишем это в виде шагов:

1) Вычисляем остаток от деления \(2n + 13\) на \((n + 7)\):
\[2n + 13 = (n + 7) \cdot 2 - (6n - 1)\]

Остаток равен \(-6n + 6\).

2) Вычисляем остаток от деления \((n + 7)\) на \(-6n + 6\):
\[(n + 7) = (-6n + 6) \cdot (-\frac{1}{6}) - (\frac{1}{6}n + 1)\]

Остаток равен \(\frac{1}{6}n - 1\).

3) Вычисляем остаток от деления \(-6n + 6\) на \(\frac{1}{6}n - 1\):
\[-6n + 6 = (\frac{1}{6}n - 1) \cdot (-36) - (30)\]

Остаток равен 0.

Таким образом, НОД чисел \(2n + 13\) и \(n + 7\) равен 30.

4. Если при делении некоторого числа \(m\) на 13 и 15 получаются одинаковые частные, и первое деление даёт остаток 8, а второе - нет, то как можно найти число \(m\)?
Решение: Рассмотрим данное условие. Если при делении числа \(m\) на 13 и 15 получаются одинаковые частные, то можем представить число \(m\) в виде произведения наибольшего общего делителя чисел 13 и 15 и некоторого целого числа. Поскольку первое деление даёт остаток 8, это означает, что \(m\) можно представить в виде \(m = x \cdot 13 + 8\), где \(x\) - целое число. Однако, при делении на 15 остаток равен 0, что означает, что \(x \cdot 13 + 8\) должно быть кратно 15. Пользуясь этим, мы можем перебирать значения \(x\), начиная с 1, и находить \(m\), удовлетворяющее условию. Первое такое значение будет числом, которое искомо.

5. На столе лежит несколько книг, и их нужно упаковать. Если связывать их пачками по 4, по 5 или по 6 книг, то всегда остается одна лишняя. Если связывать по 7 книг в пачку, то лишних книг не остается. Какое количество книг может быть на столе минимально?
Решение: Для решения этой задачи нам понадобится найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4, 5 и 6, так как мы ищем наименьшее количество книг, достаточное для формирования пачек по 4, 5 и 6 книг.

Найдем НОК(4, 5, 6) = 60. Это значит, что наименьшее количество книг на столе будет равно 60.

6. Как определить количество?
Чтобы определить количество, нужно обратиться к условию задачи или контексту, в котором задана данная информация. Количество может быть измерено в различных единицах, таких как штуки, граммы, метры и т.д. В каждом случае требуется использовать соответствующие методы и формулы для определения количества.