Каковы значения x2, x3, x4 в последовательности натуральных чисел, определенной рекуррентной формулой X1=1 и xk+1

Конечно! Давайте решим задачу пошагово.

Задача:
Нам дана рекуррентная формула, определяющая последовательность натуральных чисел: \(X_1 = 1\) и \(x_{k+1} = \frac{{x_k}}{{x_{k+2}}}\), при \(k \geq 1\).
Мы должны найти значения \(x_2\), \(x_3\) и \(x_4\) в этой последовательности.

Шаг 1:
Начнем с начального условия: \(X_1 = 1\).
Используя рекуррентную формулу, найдем второй элемент:
\(x_{2} = \frac{{x_1}}{{x_3}}\)
Заменим \(x_1\) на значение из начального условия: \(x_{2} = \frac{{1}}{{x_3}}\)

Шаг 2:
Теперь найдем третий элемент:
\(x_{3} = \frac{{x_2}}{{x_4}}\)
Подставим значение \(x_2\), которое мы уже нашли: \(x_{3} = \frac{{1}}{{x_4}}\)

Шаг 3:
Последний шаг - найдем четвертый элемент:
\(x_{4} = \frac{{x_3}}{{x_5}}\)
Используем значение \(x_3\), которое мы получили на предыдущем шаге: \(x_{4} = \frac{{1}}{{x_5}}\)

Таким образом, мы нашли значения \(x_2 = \frac{{1}}{{x_3}}\), \(x_3 = \frac{{1}}{{x_4}}\) и \(x_4 = \frac{{1}}{{x_5}}\), выраженные через следующий элемент последовательности.

Теперь перейдем к доказательству формулы \(x_n = \frac{{1}}{{2^{n-1}}}\) для всех \(n \geq 1\) с помощью метода математической индукции.

Шаг 1: Базис индукции
Для \(n = 1\) формула становится \(x_1 = \frac{{1}}{{2^{1-1}}} = 1\). Подставив это значение в рекуррентную формулу, получаем \(x_2 = \frac{{1}}{{x_3}} = \frac{{1}}{{2^{2-1}}} = \frac{{1}}{{2}}\), что соответствует нашей формуле.

Шаг 2: Предположение индукции
Предположим, что формула верна для некоторого \(k \geq 1\). То есть, \(x_k = \frac{{1}}{{2^{k-1}}}\).

Шаг 3: Индукционный переход
Мы должны доказать, что формула также верна для \(k+1\). То есть, нужно показать, что \(x_{k+1} = \frac{{1}}{{2^{(k+1)-1}}}\).

Используя предположение индукции, имеем \(x_k = \frac{{1}}{{2^{k-1}}}\).
Используя рекуррентную формулу, получаем:
\(x_{k+1} = \frac{{x_k}}{{x_{k+2}}} = \frac{{\frac{{1}}{{2^{k-1}}}}}{{x_{k+2}}}\).
Теперь мы должны выразить \(x_{k+2}\) через \(x_{k+1}\) для дальнейшего продвижения.

Подставим наше предположение индукции в рекуррентную формулу:
\(x_{k+2} = \frac{{x_{k+1}}}{{x_{(k+1)+2}}} = \frac{{x_{k+1}}}{{x_{k+3}}}\).

Теперь можно заменить \(x_{k+2}\) в выражении для \(x_{k+1}\):
\(x_{k+1} = \frac{{\frac{{1}}{{2^{k-1}}}}}{{x_{k+2}}} = \frac{{\frac{{1}}{{2^{k-1}}}}}{{\frac{{x_{k+1}}}{{x_{k+3}}}}} = \frac{{x_{k+3}}}{{2^{k-1}}}.\)

Упростим это выражение:
\(x_{k+1} = \frac{{2 \cdot x_{k+3}}}{{2^k}}.\)

Теперь мы можем заменить \(x_{k+1}\) в предположении индукции:
\(x_k = \frac{{1}}{{2^{k-1}}}.\)

Подставим это значение в уравнение для \(x_{k+1}\):
\(\frac{{2 \cdot x_{k+3}}}{{2^k}} = \frac{{1}}{{2^{k-1}}}.\)

Упростим выражение:
\(2 \cdot x_{k+3} = 2^k.\)
\(x_{k+3} = 2^{k-1}.\)

Таким образом, мы показали, что если формула верна для \(k\), то она также верна для \(k+1\).
Это завершает наше доказательство по индукции.

Таким образом, мы получили подробное решение и доказательство значения \(x_2 = \frac{{1}}{{x_3}}\), \(x_3 = \frac{{1}}{{x_4}}\) и \(x_4 = \frac{{1}}{{x_5}}\) в данной последовательности, а также доказали, что \(x_n = \frac{{1}}{{2^{n-1}}}\) для всех \(n \geq 1\) с помощью метода математической индукции.