Каковы значения углов ⌣ME, ⌣NK и ⌣KE, если ∠MON = ∠KOE и соотношение между ∠MON, ∠NOK и ∠MOE равно 3:4:5? В ответе

Дано, что соотношение между углами \(\angle MON\), \(\angle NOK\) и \(\angle MOE\) равно 3:4:5. Предположим, что значением наименьшего угла является \(\angle MON\), а значением наибольшего угла является \(\angle MOE\).

Обозначим за \(x\) значение угла \(\angle MON\). Тогда уголы \(\angle NOK\) и \(\angle MOE\) будут равны \(4x\) и \(5x\) соответственно.

Сумма мер углов внутри треугольника равна \(180^\circ\), поэтому можем записать уравнение: \(x + 4x + 5x = 180^\circ\).

Решим это уравнение:
\[10x = 180^\circ \implies x = \frac{180^\circ}{10} = 18^\circ\]

Теперь можем найти значения углов \(\angle NOK\) и \(\angle MOE\):
\[\angle NOK = 4x = 4 \cdot 18^\circ = 72^\circ\]
\[\angle MOE = 5x = 5 \cdot 18^\circ = 90^\circ\]

Для нахождения углов \(\angle ME\), \(\angle NK\) и \(\angle KE\) воспользуемся свойствами взаимного расположения прямых.

Из условия задачи известно, что \(\angle MON = \angle KOE\). Таким образом, углы \(\angle MOK\) и \(\angle NOE\) в сумме равны \(180^\circ\).

Так как \(\angle MOE\) равен \(90^\circ\), то уголы \(\angle MEK\) и \(\angle NEK\) являются прямыми углами и равны \(90^\circ\).

Сумма мер углов в треугольнике равна \(180^\circ\), поэтому можем записать уравнение: \(\angle NMO + \angle MOK + \angle KON + \angle NOE = 180^\circ\).

Подставим найденные значения углов:
\[\angle NMO + \angle MOK + \angle KON + \angle NOE = 18^\circ + 72^\circ + \angle KON + 18^\circ = 180^\circ\]

Отсюда найдем значение угла \(\angle KON\):
\[\angle KON = 180^\circ - 18^\circ - 72^\circ - 18^\circ = 72^\circ\]

Теперь, зная значение угла \(\angle KON\), можно найти значения углов \(\angle ME\), \(\angle NK\) и \(\angle KE\) (углы, образованные пересекающимися прямыми, равны между собой).

Ответ: \(\angle ME = \angle NK = 90^\circ\) и \(\angle KE = \angle KON = 72^\circ\).