Каковы значения сторон прямоугольника, если его периметр составляет 60 см, а площадь равна 144 см²?

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать информацию о периметре и площади прямоугольника.

Пусть \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.

Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон:
\[P = 2a + 2b = 60 \, см\]

Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон:
\[S = ab = 144 \, см^2\]

Теперь мы можем начать решение задачи.

Шаг 1: Найдем выражение для одной из сторон прямоугольника через другую.
Используем формулу для периметра: \(2a + 2b = 60\).
Делим обе части уравнения на 2: \(a + b = 30\).
Теперь можно выразить одну из сторон через другую: \(a = 30 - b\).

Шаг 2: Подставим это выражение для стороны в формулу площади и решим уравнение.
Подставляем \(a\) в формулу площади: \((30 - b)b = 144\).
Раскрываем скобки: \(30b - b^2 = 144\).
Получаем квадратное уравнение: \(b^2 - 30b + 144 = 0\).

Шаг 3: Решим полученное квадратное уравнение.
Существует несколько способов решения квадратных уравнений. Мы воспользуемся здесь методом дискриминанта.

Вычислим дискриминант уравнения: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -30\), \(c = 144\).
Подставляем значения: \(D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 900 - 576 = 324\).

Теперь рассмотрим возможные варианты.

Вариант 1: Если дискриминант \(D > 0\), то уравнение имеет два различных действительных корня.

Вариант 2: Если дискриминант \(D = 0\), то уравнение имеет один действительный корень.

Вариант 3: Если дискриминант \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае дискриминант равен 324, что больше нуля, поэтому у нас есть два различных действительных корня.

Шаг 4: Найдем значения сторон прямоугольника.
Используем формулу для нахождения корней:
\[b_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]
\[b_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]

Подставляем значения для \(a = 1\), \(b = -30\) и \(D = 324\):
\[b_1 = \frac{-(-30) - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{30 - 18}{2} = 6\]
\[b_2 = \frac{-(-30) + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{30 + 18}{2} = 24\]

Теперь можем найти значения сторон прямоугольника:
\[a = 30 - b = 30 - 6 = 24\]
\[b = 30 - b = 30 - 24 = 6\]

Значения сторон прямоугольника составляют 24 см и 6 см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 24 см и 6 см.