Каковы значения средней фазовой и средней групповой скорости света в интервале длин волн от 546 до 589

Для решения данной задачи, давайте вспомним о связи между коэффициентом преломления (\(n\)), скоростью света в вакууме (\(c\)), средней фазовой скоростью (\(v_{\text{ф}}\)) и средней групповой скоростью (\(v_{\text{гр}}\)) света.

Средняя фазовая скорость света определяется следующим образом:

\[v_{\text{ф}} = \dfrac{c}{n}\]

Средняя групповая скорость света может быть найдена как производная фазовой скорости по длине волны:

\[v_{\text{гр}} = c \cdot \left(1 - \lambda \cdot \dfrac{dn}{d\lambda}\right)\]

где \(\lambda\) - длина волны, \(dn/d\lambda\) - производная коэффициента преломления по длине волны.

Теперь приступим к решению задачи. Первым шагом найдем значения коэффициента преломления воды (\(n\)) для длин волн 546 нм и 589 нм.

\[n_1 = 1,33447\]
\[n_2 = 1,33300\]

Затем найдем значение скорости света в вакууме (\(c\)), которая равна приблизительно \(3 \times 10^8\) м/с.

Теперь, используя формулу для средней фазовой скорости (\(v_{\text{ф}}\)), найдем значения средней фазовой скорости света в указанном интервале длин волн:

\[v_{\text{ф}_1} = \dfrac{c}{n_1}\]
\[v_{\text{ф}_2} = \dfrac{c}{n_2}\]

Последним шагом, используя формулу для средней групповой скорости (\(v_{\text{гр}}\)), найдем значения средней групповой скорости света в указанном интервале длин волн:

\[v_{\text{гр}_1} = c \cdot \left(1 - \lambda_1 \cdot \dfrac{dn}{d\lambda}\right)\]
\[v_{\text{гр}_2} = c \cdot \left(1 - \lambda_2 \cdot \dfrac{dn}{d\lambda}\right)\]

Где \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\) - соответственно длины волн 546 нм и 589 нм.

Обратите внимание, что для нахождения значения средней групповой скорости мы нуждаемся в значениях производной \(dn/d\lambda\). Если дана аналитическая зависимость коэффициента преломления от длины волны \(n(\lambda)\), мы можем найти производную этой функции и подставить значения в формулу для средней групповой скорости.

Таким образом, получим значения средней фазовой скорости и средней групповой скорости света для указанного интервала длин волн и изменяющегося коэффициента преломления воды.