Каковы значения скорости, тангенциального ускорения, нормального ускорения и полного ускорения в определенный момент

Для решения этой задачи нам потребуется начать с нахождения скорости, тангенциального ускорения, нормального ускорения и полного ускорения материальной точки в определенный момент времени. Давайте начнем с пошагового решения.

Шаг 1: Найдем скорость материальной точки в определенный момент времени.

Для этого нам понадобятся первые производные по времени от уравнения \(s = 8t - 0.2t^3\).

Производная от \(s\) по времени \(t\) даст нам скорость \(v\):
\[v = \frac{{ds}}{{dt}}\]

Производная от первого слагаемого 8t равна 8, так как производная по времени от константы равна нулю. Производная от второго слагаемого -0.2t^3 даст -0.6t^2.

Получается, что скорость \(v\) в определенный момент времени \(t\) равна 8 - 0.6t^2.

Шаг 2: Найдем тангенциальное ускорение материальной точки в определенный момент времени.

Тангенциальное ускорение \(a_t\) - это производная скорости \(v\) по времени \(t\):
\[a_t = \frac{{dv}}{{dt}}\]

Производная от 8 равна 0, так как производная по времени от константы равна нулю. Производная от второго слагаемого -0.6t^2 будет -1.2t.

Таким образом, тангенциальное ускорение \(a_t\) в определенный момент времени \(t\) равно -1.2t.

Шаг 3: Найдем нормальное ускорение материальной точки в определенный момент времени.

Нормальное ускорение \(a_n\) можно найти, используя следующую формулу:
\[a_n = \frac{{v^2}}{{r}}\]

где \(r\) - радиус окружности.

Мы уже ранее выразили скорость \(v\) в зависимости от \(t\), осталось только подставить это значение в формулу.

Получаем, что нормальное ускорение \(a_n\) в определенный момент времени \(t\) равно:
\[a_n = \frac{{(8 - 0.6t^2)^2}}{{2}}\]

Шаг 4: Найдем полное ускорение материальной точки в определенный момент времени.

Полное ускорение \(a\) - это векторная сумма тангенциального ускорения \(a_t\) и нормального ускорения \(a_n\):
\[a = \sqrt{{a_t^2 + a_n^2}}\]

Подставляя значения тангенциального и нормального ускорений, получаем:
\[a = \sqrt{{(-1.2t)^2 + \left(\frac{{(8 - 0.6t^2)^2}}{{2}}\right)^2}}\]

Таким образом, мы нашли значения скорости, тангенциального ускорения, нормального ускорения и полного ускорения в определенный момент времени для материальной точки, движущейся по окружности радиусом 2 м в соответствии с уравнением \(s = 8t - 0.2t^3\). Данное решение гарантирует понимание учеником каждого шага и обоснование полученных результатов.