Каковы значения СК и ВК в прямоугольном треугольнике ∆АВС, где АК равна 20 и внешний угол ∆АВС равен 150°?

Чтобы определить значения синуса угла СК и косинуса угла ВК в прямоугольном треугольнике ∆АВС, нам понадобятся знания о тригонометрических функциях и теореме синусов.

Для начала, рассмотрим прямоугольный треугольник ∆АКВ, где АК — гипотенуза, и ∠А равен 90°. Так как АК равна 20, нам нужно найти значения катетов АВ и ВК.

Так как ∠САК = 180° - ∠А, то ∠САК = 180° - 90° = 90°. Значит, угол СК в прямоугольном треугольнике равен 90°.

Далее, нам нужно найти значение угла ВК. У внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, поэтому ∠ВК = 180° - ∠А = 180° - 90° = 90°.

Теперь, мы можем использовать теорему синусов для определения значений синуса угла СК и косинуса угла ВК.

Теорема синусов гласит:

$$\frac{a}{\sin (A)}=\frac{b}{\sin (B)}=\frac{c}{\sin (C)}$$

где a, b, c — стороны треугольника, A, B, C — противолежащие углы.

В нашем случае, мы знаем, что сторонами треугольника ∆АКВ являются АК = 20, АВ и ВК.

Находим значение стороны АВ, применяя теорему Пифагора:

$$АВ=\sqrt{А{К}^2-В{К}^2}=\sqrt{{20}^2-В{К}^2}=\sqrt{400-В{К}^2}$$

Теперь мы можем составить отношение для синуса угла СК:

$$\sin (90°)=\frac{ВК}{20}$$

Так как синус 90° равен 1, получаем:

$$1=\frac{ВК}{20}$$

Отсюда находим значение ВК:

$$ВК=20$$

Затем, для косинуса угла ВК, мы можем использовать теорему синусов снова:

$$\cos (90°)=\frac{АВ}{20}$$

Снова, так как косинус 90° равен 0, получаем:

$$0=\frac{\sqrt{400-В{К}^2}}{20}$$

$$0=\sqrt{400-В{К}^2}$$

Возведя обе части уравнения в квадрат, мы получим:

$$400-В{К}^2=0$$

$$В{К}^2=400$$

$$ВК=\sqrt{400}$$

$$ВК=20$$

Таким образом, значения СК и ВК в прямоугольном треугольнике ∆АВС равны 90° и 20 соответственно.