Каковы значения СК и ВК в прямоугольном треугольнике ∆АВС, где АК равна 20 и внешний угол ∆АВС равен 150°?

Чтобы определить значения синуса угла СК и косинуса угла ВК в прямоугольном треугольнике ∆АВС, нам понадобятся знания о тригонометрических функциях и теореме синусов.

Для начала, рассмотрим прямоугольный треугольник ∆АКВ, где АК — гипотенуза, и ∠А равен 90°. Так как АК равна 20, нам нужно найти значения катетов АВ и ВК.

Так как ∠САК = 180° - ∠А, то ∠САК = 180° - 90° = 90°. Значит, угол СК в прямоугольном треугольнике равен 90°.

Далее, нам нужно найти значение угла ВК. У внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, поэтому ∠ВК = 180° - ∠А = 180° - 90° = 90°.

Теперь, мы можем использовать теорему синусов для определения значений синуса угла СК и косинуса угла ВК.

Теорема синусов гласит:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

где a, b, c — стороны треугольника, A, B, C — противолежащие углы.

В нашем случае, мы знаем, что сторонами треугольника ∆АКВ являются АК = 20, АВ и ВК.

Находим значение стороны АВ, применяя теорему Пифагора:

\[АВ = \sqrt{АК^2 - ВК^2} = \sqrt{20^2 - ВК^2} = \sqrt{400 - ВК^2}\]

Теперь мы можем составить отношение для синуса угла СК:

\[\sin(90°) = \frac{ВК}{20}\]

Так как синус 90° равен 1, получаем:

\[1 = \frac{ВК}{20}\]

Отсюда находим значение ВК:

\[ВК = 20\]

Затем, для косинуса угла ВК, мы можем использовать теорему синусов снова:

\[\cos(90°) = \frac{АВ}{20}\]

Снова, так как косинус 90° равен 0, получаем:

\[0 = \frac{\sqrt{400 - ВК^2}}{20}\]

\[0 = \sqrt{400 - ВК^2}\]

Возведя обе части уравнения в квадрат, мы получим:

\[400 - ВК^2 = 0\]

\[ВК^2 = 400\]

\[ВК = \sqrt{400}\]

\[ВК = 20\]

Таким образом, значения СК и ВК в прямоугольном треугольнике ∆АВС равны 90° и 20 соответственно.