Если косинус острого угла прямоугольной трапеции равен 84/85, то каков периметр трапеции, если меньшее основание равно

Для начала, давайте обозначим данные, которые у нас есть. Пусть меньшее основание равно \(a\), а высота равна \(h\). Также, по условию задачи, косинус острого угла трапеции равен \(\frac{84}{85}\).

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться теоремой косинусов для треугольника. Так как у нас прямоугольная трапеция, то мы можем разделить ее на два прямоугольных треугольника.

У нас есть данные только о косинусе острого угла, поэтому нам пригодится соотношение из теоремы косинусов:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

где \(c\) - длина прямой, противолежащей острому углу \(C\), а \(a\) и \(b\) - длины других двух сторон треугольника.

Применяя эту формулу к нашей трапеции, мы можем получить следующие уравнения:

\[\begin{cases} a^2 + h^2 - 2ah\cdot \cos(90^{\circ}) = \left(\frac{84}{85}\right)^2 \\ (a+2h)^2 + h^2 - 2(a+2h)h \cdot \cos(90^{\circ}) = 1 \end{cases}\]

Так как угол \(90^{\circ}\) является прямым углом, то \(\cos(90^{\circ}) = 0\), и уравнения становятся следующими:

\[\begin{cases} a^2 + h^2 = \left(\frac{84}{85}\right)^2 \\ (a+2h)^2 + h^2 = 1 \end{cases}\]

Разделим второе уравнение на первое:

\[\frac{(a+2h)^2 + h^2}{a^2 + h^2} = \frac{1}{\left(\frac{84}{85}\right)^2}\]

Упростим это выражение:

\[\frac{a^2 + 4ah + 4h^2 + h^2}{a^2 + h^2} = \frac{85^2}{84^2}\]

\[a^2 + 4ah + 5h^2 = \frac{85^2}{84^2}(a^2 + h^2)\]

Раскроем скобки:

\[a^2 + 4ah + 5h^2 = \frac{85^2}{84^2}a^2 + \frac{85^2}{84^2}h^2\]

Перенесем все члены с \(a\) на одну сторону, а с \(h\) на другую, чтобы получить уравнение в виде:

\[\left(1 - \frac{85^2}{84^2}\right)a^2 + \left(5 - \frac{85^2}{84^2}\right)h^2 - 4ah = 0\]

Теперь, чтобы найти длины сторон \(a\) и \(h\), мы можем решить это квадратное уравнение. Дискриминант этого уравнения равен нулю, чтобы получить только одно решение:

\[\left(4^2 - 4 \cdot \left(1 - \frac{85^2}{84^2}\right) \cdot \left(5 - \frac{85^2}{84^2}\right)\right) = 0\]

Раскроем скобки и упростим:

\[16 - 4 \cdot \left(1 - \frac{85^2}{84^2}\right) \cdot \left(5 - \frac{85^2}{84^2}\right) = 0\]

Или:

\[16 - \frac{4 \cdot 84^2 \cdot 85^2}{84^4} = 0\]

\[16 - \frac{4 \cdot 85^2}{84^2} = 0\]

Упростим дальше, чтобы найти \(a\) и \(h\):

\[16 \cdot 84^2 - 4 \cdot 85^2 = 0\]

\[16 \cdot 84^2 = 4 \cdot 85^2\]

\[16 \cdot 7^2 \cdot 6^2 = 85^2\]

\[16 \cdot 7^2 \cdot 6^2 = (7 \cdot 6 \cdot 5)^2\]

\[(2 \cdot 7 \cdot 6)^2 = (7 \cdot 6 \cdot 5)^2\]

Таким образом, мы можем заключить, что \(2 \cdot 7 \cdot 6 = 7 \cdot 6 \cdot 5\).

Значит, длина \(a\) и длина \(h\) равны \(7 \cdot 6 = 42\).

Теперь, чтобы найти периметр трапеции, мы можем использовать формулу:

\[P = a + b_1 + b_2 + c\]

где \(b_1\) и \(b_2\) - основания трапеции, а \(c\) - длина боковой стороны.

Согласно условию задачи, меньшее основание трапеции равно \(h\), поэтому \(b_1 = h\).

Также, у нас есть соотношение между меньшим основанием и косинусом острого угла: \(\cos(C) = \frac{84}{85}\).

Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину боковой стороны:

\[c = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{(42)^2 + (42)^2} = \sqrt{2(42)^2} = 42\sqrt{2}\]

Теперь, подставим все значения в формулу периметра:

\[P = h + h + 42 + 42\sqrt{2} = 2h + 42 + 42\sqrt{2}\]

\[P = 2 \cdot 42 + 42 + 42\sqrt{2} = 84 + 42 + 42\sqrt{2}\]

\[P = 126 + 42\sqrt{2}\]

Итак, периметр трапеции равен \(126 + 42\sqrt{2}\).