Каков объем прямого кругового конуса с углом абс равным 120 градусам и радиусом основания, равным 4 корня из трех?

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые формулы, связанные с объемом и боковой поверхностью прямого кругового конуса.

Объем \(V\) прямого кругового конуса можно вычислить по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h,\]

где \(r\) - радиус основания конуса, а \(h\) - высота конуса.

В данной задаче нам известны значения угла \(\alpha\) и радиуса основания конуса \(r\), поэтому нам необходимо найти высоту конуса \(h\), чтобы вычислить его объем.

Сначала определим высоту конуса. С учетом заданных данных, радиус основания конуса \(r\) равен \(4\sqrt{3}\), а угол \(\alpha\) равен \(120\) градусам.

Чтобы найти высоту \(h\), построим вспомогательную прямую, проходящую через вершину конуса и перпендикулярную его основанию. Затем соединим точку пересечения основания и вершины конуса прямой линией. Таким образом, мы получим прямоугольный треугольник.

В прямоугольном треугольнике синус угла \(\alpha\) вычисляется следующим образом:

\[\sin \alpha = \frac{h}{r}.\]

Так как нам известен угол \(\alpha\) равный \(120\) градусам, подставим его значение в формулу:

\[\sin 120^\circ = \frac{h}{4\sqrt{3}}.\]

Узнаем значение синуса \(120\) градусов с помощью таблицы или калькулятора:

\[\sin 120^\circ = \sqrt{3} / 2.\]

Теперь подставим значение синуса и выражение для радиуса основания конуса в уравнение и найдем высоту \(h\):

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{4\sqrt{3}}.\]

Перемножим обе части уравнения на \(4\sqrt{3}\):

\(4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = h.\)

Упростим выражение:

\(2 \cdot 3 = h.\)

\(h = 6.\)

Теперь, когда мы нашли высоту конуса \(h\) равную \(6\), можем вычислить его объем с помощью формулы:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h.\]

Подставим значения радиуса \(r\) и высоты \(h\) в формулу:

\[V = \frac{1}{3} \pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 6.\]

Выполним необходимые вычисления:

\[V = \frac{1}{3} \pi 48 \cdot 6.\]

\(\pi\) - это число \(3.14159...\), который можно округлить до \(3.14\) для упрощения вычислений:

\[V \approx \frac{1}{3} \cdot 3.14 \cdot 48 \cdot 6.\]

Умножим числа в скобках:

\[V \approx \frac{1}{3} \cdot 3.14 \cdot 288.\]

Найдем произведение чисел за знаком умножения:

\[V \approx \frac{1}{3} \cdot 904.32.\]

Вычислим это:

\[V \approx 301.44.\]

Таким образом, объем прямого кругового конуса с углом \(\alpha\) равным \(120\) градусам и радиусом основания, равным \(4\sqrt{3}\), составляет примерно \(301.44\) (в кубических единицах, например, кубических сантиметрах).