Каковы значения синуса, косинуса и тангенса для углов AОB и AОC, если A (1:0), B (1/4; корень из 15/4), С (-1/2; корень

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить значения синуса, косинуса и тангенса для углов AОB и AОC.

Начнем с угла AОB. Чтобы найти его значение, мы должны вычислить длины сторон треугольника AОB, а затем применить соответствующие тригонометрические функции.

Для начала, найдем длины сторон треугольника AОB с помощью формулы расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}\]

Где \(d\) - расстояние между точками, \(x_1, y_1\) - координаты точки A, \(x_2, y_2\) - координаты точки B.

Подставив значения координат, получим:

\[d_{AB} = \sqrt{{(1/4 - 1)^2 + (\sqrt{15/4} - 0)^2}}\]
\[d_{AB} = \sqrt{{(-3/4)^2 + (sqrt{15/4})^2}}\]
\[d_{AB} = \sqrt{{9/16 + 15/4}}\]
\[d_{AB} = \sqrt{{9/16 + 60/16}}\]
\[d_{AB} = \sqrt{{69/16}}\]
\[d_{AB} = \frac{{\sqrt{69}}}{4}\]

Теперь мы можем вычислить значения синуса, косинуса и тангенса угла AОB. Используя определения этих функций:

\[\sin(\theta) = \frac{{\text{противоположная сторона}}}{{\text{гипотенуза}}}\]
\[\cos(\theta) = \frac{{\text{прилежащая сторона}}}{{\text{гипотенуза}}}\]
\[\tan(\theta) = \frac{{\text{противоположная сторона}}}{{\text{прилежащая сторона}}}\]

Подставляем полученные значения:

\[\sin(AОB) = \frac{{\sqrt{15/4}}}{{\frac{{\sqrt{69}}}{4}}}\]
\[\sin(AОB) = \frac{{\sqrt{15/4}}}{{\frac{{\sqrt{69}}}{4}}} \cdot \frac{4}{{4}}\]
\[\sin(AОB) = \sqrt{\frac{{15}}{{69}}}\]

\[\cos(AОB) = \frac{{1 - 1/4}}{{\frac{{\sqrt{69}}}{4}}}\]
\[\cos(AОB) = \frac{{3/4}}{{\frac{{\sqrt{69}}}{4}}}\]
\[\cos(AОB) = \frac{{3}}{{\sqrt{69}}}\]

\[\tan(AОB) = \frac{{\sqrt{15/4}}}{{1 - 1/4}}\]
\[\tan(AОB) = \frac{{\sqrt{15/4}}}{{3/4}}\]
\[\tan(AОB) = \sqrt{15/3}\]

Приступим к вычислению угла AОC. Метод решения будет аналогичным. Найдем длины сторон треугольника AОC:

\[d_{AC} = \sqrt{{(-1/2 - 1)^2 + (\sqrt{3/2} - 0)^2}}\]
\[d_{AC} = \sqrt{{(-3/2)^2 + (\sqrt{3/2})^2}}\]
\[d_{AC} = \sqrt{{9/4 + 3/2}}\]
\[d_{AC} = \sqrt{{9/4 + 6/4}}\]
\[d_{AC} = \sqrt{{15/4}}\]
\[d_{AC} = \frac{{\sqrt{15}}}{2}\]

Теперь вычислим значения синуса, косинуса и тангенса угла AОC:

\[\sin(AОC) = \frac{{\sqrt{3/2}}}{{\frac{{\sqrt{15}}}{2}}}\]
\[\sin(AОC) = \frac{{\sqrt{3/2}}}{{\frac{{\sqrt{15}}}{2}}} \cdot \frac{2}{{2}}\]
\[\sin(AОC) = \sqrt{\frac{{3}}{{15}}}\]

\[\cos(AОC) = \frac{{-1 - 1/2}}{{\frac{{\sqrt{15}}}{2}}}\]
\[\cos(AОC) = \frac{{-3/2}}{{\frac{{\sqrt{15}}}{2}}}\]
\[\cos(AОC) = \frac{{-3}}{{\sqrt{15}}}\]

\[\tan(AОC) = \frac{{\sqrt{3/2}}}{{-1 - 1/2}}\]
\[\tan(AОC) = \frac{{\sqrt{3/2}}}{{-3/2}}\]
\[\tan(AОC) = \sqrt{\frac{{3}}{{9}}}\]

Итак, мы рассчитали значения синуса, косинуса и тангенса для углов AОB и AОC. Для угла AОB получили следующие значения:

\[\sin(AОB) = \sqrt{\frac{{15}}{{69}}}\]
\[\cos(AОB) = \frac{{3}}{{\sqrt{69}}}\]
\[\tan(AОB) = \sqrt{\frac{{15}}{{3}}}\]

Для угла AОC получили следующие значения:

\[\sin(AОC) = \sqrt{\frac{{3}}{{15}}}\]
\[\cos(AОC) = \frac{{-3}}{{\sqrt{15}}}\]
\[\tan(AОC) = \sqrt{\frac{{3}}{{9}}}\]

Теперь школьник может использовать эти результаты в своих учебных заданиях или исследованиях. Если возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, проясните.