Каковы значения переменных, при которых указанные уравнения выполнимы? а) Для каких значений x уравнение

Для начала рассмотрим каждую задачу по отдельности.

а) Уравнение 4/(х-2) + 2х/(16-х^2) = х^2/(х^2+4) имеет решение, когда обе его части определены и равны друг другу.

Давайте поэтапно решим данную задачу:

Шаг 1: Выясним, для каких значений x уравнение имеет смысл. В уравнении присутствуют дроби, поэтому необходимо исключить значения x, при которых знаменатели обращаются в ноль.

Для первого слагаемого, знаменатель (х-2) не должен быть равен нулю. То есть, \(x-2 \neq 0\). Решив это неравенство, мы получим \(x \neq 2\).

Для второго слагаемого, знаменатель (16-х^2) не должен быть равен нулю. То есть, \(16-x^2 \neq 0\). Решив это неравенство, мы получим \(x \neq 4\) и \(x \neq -4\).

Для третьего слагаемого, знаменатель (х^2+4) не должен быть равен нулю. То есть, \(x^2+4 \neq 0\). Это неравенство не имеет действительных решений, так как \(x^2+4\) всегда положительно.

Итак, мы установили, что уравнение имеет смысл при всех значениях x, кроме x = 2, x = 4 и x = -4.

Шаг 2: Определим значения x, при которых уравнение выполняется.

Для этого объединим все слагаемые в общую дробь и приведем к общему знаменателю:

\(\frac{{4(х^2+4) + 2х(х-2)}}{{(х-2)(x^2+4)}} = \frac{{x^2}}{{x^2+4}}\).

Раскроем скобки и упростим выражение:

\(\frac{{4х^2+16+2х^2 - 4х}}{{x^3-2х^2+4х-8}} = \frac{{x^2}}{{x^2+4}}\).

\(\frac{{6х^2 - 4х+16}}{{x^3-2х^2+4х-8}} = \frac{{x^2}}{{x^2+4}}\).

Перемножим обе части уравнения на знаменатель второй дроби:

\(6х^2 - 4х+16 = \frac{{x^2(x^3-2х^2+4х-8)}}{{x^2+4}}\).

Упростим выражение, умножая и сокращая дроби:

\(6х^2 - 4х+16 = \frac{{x^5-2х^4+4х^3-8х^2}}{{x^2+4}}\).

\(6х^2 - 4х+16 = \frac{{x^5-2х^4+4х^3-8х^2+16х^2 - 32}}{{x^2+4}}\).

\(6х^2 - 4х+16 = \frac{{x^5-2х^4+4х^3+8х^2 - 32}}{{x^2+4}}\).

Раскроем скобки:

\(6х^2 - 4х+16 = \frac{{x^5-2х^4+4х^3+8х^2 - 32}}{{x^2+4}}\).

\(6х^2 - 4х+16 = \frac{{x^5-2х^4+4х^3+8х^2 - 32}}{{x^2+4}}\).

Вынесем общий множитель x^2:

\(6х^2 - 4х+16 = \frac{{x^2(x^3-2х^2+4х+8) - 32}}{{x^2+4}}\).

Упростим выражение:

\(6х^2 - 4х+16 = \frac{{x^2(x^3+4x^2 - 2х^2+4х+8) - 32}}{{x^2+4}}\).

\(6х^2 - 4х+16 = \frac{{x^2(x^3+2x^2 + 4х+8) - 32}}{{x^2+4}}\).

Теперь у нас есть кубическое уравнение \(x^3+2x^2 + 4x+8\) и рациональное уравнение \(\frac{{x^2(x^3+2x^2 + 4x+8) - 32}}{{x^2+4}}\) вместе с равенством 6х^2 - 4х+16.

Для того чтобы найти значения переменных, при которых уравнение выполнимо, необходимо решить данное систему уравнений:

\(\begin{cases} x^3+2x^2 + 4x+8 = 0 \\ 6х^2 - 4х+16 = 0 \end{cases}\)

Это требует более сложных методов решения, таких как графическое представление или использование численных методов.

Пожалуйста, уточните, какие значения переменных следует найти для данной задачи, и я смогу помочь вам с созданием подробных и обоснованных решений.