Каковы значения кинетической и потенциальной энергии через 1/12 периода для 5 человек, массой 80 кг каждый, качающихся

Для решения данной задачи, нам необходимо разделить ее на две части: вычисление периода колебаний и определение значений кинетической и потенциальной энергии через 1/12 периода.

Шаг 1: Вычисление периода колебаний (T)
Период колебаний можно найти, используя формулу:
\[T = \frac{1}{{f}}\]
где f - частота колебаний.

В данной задаче сказано, что качели совершают 15 колебаний в минуту. Чтобы получить частоту колебаний в секундах, мы должны разделить 15 на 60 (так как 1 минута = 60 секунд):
\[f = \frac{{15}}{{60}} = \frac{{1}}{{4}} \, \text{Гц}\]

Теперь, используя формулу, найдем период колебаний:
\[T = \frac{1}{{f}} = \frac{1}{{\frac{{1}}{{4}}}} = 4 \, \text{с}\]

Шаг 2: Вычисление значений кинетической и потенциальной энергии через 1/12 периода.
Поскольку нам нужно найти значения энергии через 1/12 периода (т.е. после выполнения 1/12 от общего времени периода колебаний), нам необходимо найти это время.

Для этого мы должны умножить период колебаний на 1/12:
\[t = \frac{1}{{12}} \cdot T = \frac{1}{{12}} \cdot 4 = \frac{1}{{3}} \, \text{с}\]

Теперь мы можем вычислить значения кинетической и потенциальной энергии.

Значение кинетической энергии (K) можно найти, используя формулу:
\[K = \frac{{m \cdot v^2}}{2}\]
где m - масса тела и v - скорость.

В данной задаче сказано, что масса каждого человека равна 80 кг. Так как качели достигают амплитуды 1 м (то есть максимальное перемещение), скорость к часу колебаний (v) будет равна длине окружности амплитуды поделенной на время одного колебания (t = 1/3 с):
\[v = \frac{{2 \pi \cdot A}}{{T}} = \frac{{2 \pi \cdot 1}}{{4}} = \frac{{\pi}}{{2}} \, \text{м/с}\]

Теперь, используя формулу, найдем значение кинетической энергии:
\[K = \frac{{m \cdot v^2}}{2} = \frac{{80 \cdot \left(\frac{{\pi}}{{2}}\right)^2}}{2} = 20 \pi^2 \, \text{Дж}\]

Значение потенциальной энергии (P) можно найти, используя формулу:
\[P = m \cdot g \cdot h\]
где m - масса тела, g - ускорение свободного падения и h - высота подъема.

В данной задаче потенциальная энергия будет максимальной в точках максимального отклонения (верхняя точка качелей). Так как качели достигают амплитуды 1 м, высота подъема (h) будет равна амплитуде:
\[h = A = 1 \, \text{м}\]

Ускорение свободного падения обычно обозначается символом g и приблизительно равно 9,8 м/с².

Теперь, используя формулу, найдем значение потенциальной энергии:
\[P = m \cdot g \cdot h = 80 \cdot 9.8 \cdot 1 = 784 \, \text{Дж}\]

Итак, значения кинетической и потенциальной энергии через 1/12 периода для 5 человек, массой 80 кг каждый, качающихся на качелях с амплитудой 1 м и совершающих 15 колебаний в минуту, равны:
Кинетическая энергия (K) = \(20 \pi^2\) Дж
Потенциальная энергия (P) = 784 Дж