Каковы значения двух других углов и третьей стороны в треугольнике ABC, если AB = 3, BC = 9 и ∠ B = 45°?

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства треугольников и тригонометрию. Давайте начнем.

Первое, что нам следует сделать, это определить значение угла ∠C. Мы можем сделать это, используя свойство суммы углов треугольника. Поскольку у нас уже известен угол ∠B, равный 45°, мы можем использовать следующее уравнение:

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Так как ∠B = 45°, подставим это значение и также обозначим неизвестный угол ∠A:

∠A + 45° + ∠C = 180°

Теперь мы можем выразить угол ∠C через угол ∠A:

∠C = 180° - ∠A - 45°

Второе, что мы можем сделать, это использовать закон синусов, чтобы найти третью сторону треугольника. Закон синусов гласит:

\[\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}\]

В нашем случае, мы уже знаем длины сторон AB и BC, а также угол ∠B. Обозначим третью сторону треугольника как AC и угол против этой стороны как ∠A.

Мы можем записать следующее уравнение, используя закон синусов:

\[\frac{AB}{\sin(\angle A)} = \frac{BC}{\sin(\angle B)} = \frac{AC}{\sin(\angle C)}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{3}{\sin(\angle A)} = \frac{9}{\sin(45°)} = \frac{AC}{\sin(\angle C)}\]

Теперь нам нужно выразить ∠A через другие известные значения. Воспользуемся тригонометрическим соотношением для угла в прямоугольном треугольнике:

\(\sin(\angle A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\)

В прямоугольном треугольнике ABC, где AB = 3 и BC = 9, мы можем найти длину гипотенузы AC, используя теорему Пифагора:

\[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}\]

Подставим известные значения:

\[AC = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{90} \approx 9.49\]

Теперь мы можем выразить \(\sin(\angle A)\):

\[\sin(\angle A) = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{\sqrt{90}}\]

Используя калькулятор, получаем:

\[\sin(\angle A) \approx 0.316\]

Теперь мы можем найти значение угла ∠A, применив обратную функцию синуса (арксинус) к полученному значению:

\[\angle A = \arcsin(0.316) \approx 18.19°\]

Теперь, чтобы найти значение угла ∠C, мы можем использовать ранее полученную формулу:

\[\angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 18.19° - 45° \approx 116.81°\]

Таким образом, значения двух других углов в треугольнике ABC равны примерно 18.19° и 116.81° соответственно. Третья сторона треугольника равна примерно 9.49.