Каковы значения дисперсии и среднеквадратичного отклонения для случайной величины Х, которая представляет собой число

Для решения этой задачи, мы должны рассмотреть случайную величину \(X\), которая представляет собой число выпадений решки при подбрасывании монеты 6 раз.

Для начала, давайте выясним возможные значения, которые может принимать \(X\). Для каждого подбрасывания монеты у нас есть два возможных исхода: выпадение решки или выпадение орла. Всего у нас шесть подбрасываний, поэтому существует \(2^6\) или 64 различных комбинации результатов.

Следующим шагом мы должны определить вероятность каждого значения \(X\). Для этого мы можем использовать биномиальное распределение, поскольку каждое подбрасывание является независимым и имеет одинаковую вероятность для решки или орла.

Вероятность \(P(X=k)\) задается формулой биномиального распределения:
\[P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]
где \(n\) - количество подбрасываний (в данном случае 6), \(k\) - количество выпадений решки, \(C(n,k)\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\), а \(p\) - вероятность выпадения решки при одном подбрасывании (в данном случае 0.5).

Теперь, используя эту формулу, мы можем расчитать вероятность для каждого значения \(X\) от 0 до 6. Таблица ниже показывает результаты:

\[
\begin{align*}
X=k & \quad P(X=k)\\
\hline
0 & \quad 0.0156\\
1 & \quad 0.0938\\
2 & \quad 0.2344\\
3 & \quad 0.3125\\
4 & \quad 0.2344\\
5 & \quad 0.0938\\
6 & \quad 0.0156\\
\end{align*}
\]

Теперь давайте найдем среднеквадратичное отклонение и дисперсию случайной величины \(X\).

Среднее значение (математическое ожидание) случайной величины \(X\) вычисляется следующим образом:
\[E(X) = \sum_{k=0}^{6} k \cdot P(X=k)\]
в нашем случае это будет:
\[E(X) = 0 \cdot 0.0156 + 1 \cdot 0.0938 + 2 \cdot 0.2344 + 3 \cdot 0.3125 + 4 \cdot 0.2344 + 5 \cdot 0.0938 + 6 \cdot 0.0156\]

Вычисляя эту сумму, мы получаем:
\[E(X) = 3.0\]

Теперь мы можем вычислить дисперсию, которая является мерой разброса значений случайной величины.

\[Var(X) = E((X-E(X))^2)\]

\[Var(X) = (0-3.0)^2 \cdot 0.0156 + (1-3.0)^2 \cdot 0.0938 + (2-3.0)^2 \cdot 0.2344 + (3-3.0)^2 \cdot 0.3125 + (4-3.0)^2 \cdot 0.2344 + (5-3.0)^2 \cdot 0.0938 + (6-3.0)^2 \cdot 0.0156\]

Окончательно, после вычислений, мы получаем:
\[Var(X) = 1.5\]
\[SD(X) = \sqrt{Var(X)} \approx 1.22\]

Таким образом, значения для дисперсии и среднеквадратичного отклонения случайной величины \(X\) равны соответственно 1.5 и около 1.22.