Каковы значения дисперсии и среднеквадратичного отклонения для случайной величины Х, которая представляет собой число

Для решения этой задачи, мы должны рассмотреть случайную величину $X$, которая представляет собой число выпадений решки при подбрасывании монеты 6 раз.

Для начала, давайте выясним возможные значения, которые может принимать $X$. Для каждого подбрасывания монеты у нас есть два возможных исхода: выпадение решки или выпадение орла. Всего у нас шесть подбрасываний, поэтому существует $2^6$ или 64 различных комбинации результатов.

Следующим шагом мы должны определить вероятность каждого значения $X$. Для этого мы можем использовать биномиальное распределение, поскольку каждое подбрасывание является независимым и имеет одинаковую вероятность для решки или орла.

Вероятность $P(X=k)$ задается формулой биномиального распределения:
$$P(X=k)=C(n,k)\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$
где $n$ - количество подбрасываний (в данном случае 6), $k$ - количество выпадений решки, $C(n,k)$ - число сочетаний из $n$ по $k$, а $p$ - вероятность выпадения решки при одном подбрасывании (в данном случае 0.5).

Теперь, используя эту формулу, мы можем расчитать вероятность для каждого значения $X$ от 0 до 6. Таблица ниже показывает результаты:

$$\begin{array}{rl}X=k& P(X=k)\\ 0& 0.0156\\ 1& 0.0938\\ 2& 0.2344\\ 3& 0.3125\\ 4& 0.2344\\ 5& 0.0938\\ 6& 0.0156\end{array}$$

Теперь давайте найдем среднеквадратичное отклонение и дисперсию случайной величины $X$.

Среднее значение (математическое ожидание) случайной величины $X$ вычисляется следующим образом:
$$E(X)=\sum _{k=0}^{6}k\cdot P(X=k)$$
в нашем случае это будет:
$$E(X)=0\cdot 0.0156+1\cdot 0.0938+2\cdot 0.2344+3\cdot 0.3125+4\cdot 0.2344+5\cdot 0.0938+6\cdot 0.0156$$

Вычисляя эту сумму, мы получаем:
$$E(X)=3.0$$

Теперь мы можем вычислить дисперсию, которая является мерой разброса значений случайной величины.

$$Var(X)=E((X-E(X){)}^2)$$

$$Var(X)=(0-3.0{)}^2\cdot 0.0156+(1-3.0{)}^2\cdot 0.0938+(2-3.0{)}^2\cdot 0.2344+(3-3.0{)}^2\cdot 0.3125+(4-3.0{)}^2\cdot 0.2344+(5-3.0{)}^2\cdot 0.0938+(6-3.0{)}^2\cdot 0.0156$$

Окончательно, после вычислений, мы получаем:
$$Var(X)=1.5$$
$$SD(X)=\sqrt{Var(X)}\approx 1.22$$

Таким образом, значения для дисперсии и среднеквадратичного отклонения случайной величины $X$ равны соответственно 1.5 и около 1.22.