Каковы значения диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 2 см и 4 см, а угол между ними составляет 120°?

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о свойствах параллелограмма и тригонометрии. Давайте рассмотрим каждый шаг по порядку.

1. Значение угла между сторонами параллелограмма составляет 120°. Обозначим этот угол как \(\angle ABC\). Поскольку параллелограммы являются двумерными фигурами, и силы распределены равномерно, углы между сторонами всегда составляют 180°. Таким образом, значение угла между противоположными сторонами параллелограмма также составляет 120°.

2. Рассмотрим треугольник ABC, образованный сторонами параллелограмма. Мы знаем, что две стороны треугольника ABC равны 2 см и 4 см (стороны параллелограмма). У нас есть угол между этими сторонами (угол \(\angle ABC\) равный 120°). Мы хотим найти значения диагоналей этого параллелограмма.

3. Чтобы найти значения диагоналей, мы можем воспользоваться теоремой косинусов для треугольника ABC. Эта теорема гласит, что в треугольнике с известными длинами сторон \(a\), \(b\) и углом \(\theta\) между этими сторонами, квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус двойное произведение этих сторон и косинуса угла \(\theta\).

Применяя эту теорему к треугольнику ABC, мы получим:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)\]

4. Мы знаем значения сторон параллелограмма: \(AB = 2 \text{ см}\) и \(BC = 4 \text{ см}\), а также значение угла \(\angle ABC = 120°\). Мы можем подставить эти значения в уравнение и рассчитать значение квадрата диагонали \(AC\):

\[AC^2 = (2 \text{ см})^2 + (4 \text{ см})^2 - 2 \cdot (2 \text{ см}) \cdot (4 \text{ см}) \cdot \cos(120°)\]

\[AC^2 = 4 \text{ см}^2 + 16 \text{ см}^2 - 16 \text{ см}^2 \cdot \cos(120°)\]

5. Чтобы рассчитать значение косинуса угла \(\cos(120°)\), мы можем использовать таблицу значений тригонометрических функций или калькулятор. Значение \(\cos(120°)\) равно \(-0,5\). Подставим это значение в уравнение:

\[AC^2 = 20 \text{ см}^2 - 16 \text{ см}^2 \cdot (-0,5)\]

\[AC^2 = 20 \text{ см}^2 + 8 \text{ см}^2\]

\[AC^2 = 28 \text{ см}^2\]

6. Чтобы найти значение диагонали \(AC\), нам нужно взять квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[AC = \sqrt{28 \text{ см}^2}\]

\[AC \approx 5,29 \text{ см}\]

Таким образом, значение диагонали параллелограмма составляет приблизительно \(5,29\) см.