Каковы все возможные остатки при делении числа m3+n3 нацело, где m и n - целые числа?

Чтобы решить данную задачу, вы намного проще, если вы знаете следующее свойство:

Если a и b - целые числа, то сумма или разность их кубов может быть записана в виде (a + b)(a^2 - ab + b^2).

Применим это свойство к нашей задаче:
Рассмотрим выражение m^3 + n^3. Мы можем записать его в виде (m + n)(m^2 - mn + n^2).

Итак, мы видим, что выражение m^3 + n^3 может быть представлено в виде произведения двух множителей: (m + n) и (m^2 - mn + n^2).

Теперь, чтобы узнать все возможные остатки при делении числа m^3 + n^3 нацело, мы можем рассмотреть все возможные значения остатков, когда m и n принимают различные значения.

Примем, что r - остаток от деления числа m^3 + n^3 нацело.

Если m и n равны 0, тогда m^3 + n^3 = 0^3 + 0^3 = 0. Таким образом, остаток r = 0.

Если m равно 0 и n не равно 0, тогда m^3 + n^3 = 0^3 + n^3 = n^3. Поскольку n^3 может быть любым целым числом, остаток r может быть любым целым числом.

Если n равно 0 и m не равно 0, аналогично получаем, что остаток r может быть любым целым числом.

Если и m, и n не равны 0, тогда мы можем выразить m^3 + n^3 в виде (m + n)(m^2 - mn + n^2). Поскольку m, n и m^2, mn, n^2 - целые числа, то остаток r может быть любым целым числом.

Таким образом, мы получаем, что все возможные остатки при делении числа m^3 + n^3 нацело являются любыми целыми числами.

Надеюсь, ответ был понятен и полезен для вас! Если у вас есть другие вопросы, не стесняйтесь задавать!