Каковы вероятности случайного числа X использованных патронов для стрелка, который имеет вероятность попадания в мишень

Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (количество выстрелов) и каждое испытание (выстрел) является независимым и имеет два возможных исхода - попадание или промах.

Для начала построим таблицу распределения вероятностей для числа использованных патронов. Пусть X - случайное число использованных патронов, тогда мы должны рассмотреть все возможные значения X от 0 до 5. Давайте заполним таблицу:

\[
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\text{Число использованных патронов} & \text{Вероятность} \\
\hline
0 & P(X=0) \\
1 & P(X=1) \\
2 & P(X=2) \\
3 & P(X=3) \\
4 & P(X=4) \\
5 & P(X=5) \\
\hline
\end{tabular}
\]

Теперь нам нужно найти вероятности для каждого значения числа использованных патронов. Обозначим вероятность попадания в мишень как P и вероятность промаха как Q (тогда P + Q = 1). В данной задаче P = 0.5.

Для случая, когда X=0, мы понимаем, что стрелок не попал в мишень ни разу, то есть имел 5 промахов. Таким образом,
\[P(X=0) = Q^5\]

Для случая, когда X=1, стрелок должен попасть в мишень ровно 1 раз, и это может произойти на любом из 5 выстрелов. Вероятность получить одно попадание и 4 промаха равна:
\[P(X=1) = \binom{5}{1} \cdot P \cdot Q^4\]

Аналогично, вероятности для остальных значений числа использованных патронов можно выразить следующим образом:

\[P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot P^2 \cdot Q^3\]
\[P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot P^3 \cdot Q^2\]
\[P(X=4) = \binom{5}{4} \cdot P^4 \cdot Q^1\]
\[P(X=5) = \binom{5}{5} \cdot P^5 \cdot Q^0\]

Теперь, когда мы имеем значения вероятности для каждого числа использованных патронов, мы можем вычислить интегральную функцию распределения. Интегральная функция распределения F(X) для данной задачи будет выглядеть следующим образом:

\[
F(X) = \sum_{x=0}^{X} P(X=x)
\]

Теперь рассмотрим математическое ожидание и дисперсию. Математическое ожидание (среднее значение) числа использованных патронов можно вычислить следующим образом:

\[
E(X) = \sum_{x} x \cdot P(X=x)
\]

Дисперсия числа использованных патронов можно вычислить по формуле:

\[
Var(X) = \sum_{x} (x - E(X))^2 \cdot P(X=x)
\]

Теперь, чтобы завершить задачу, вам нужно вычислить все значения вероятностей, составить таблицу, найти интегральную функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию числа использованных патронов, используя указанные выше формулы.