Каковы уравнения всех сфер с радиусом, которые соответствуют отрезку PQ, если координаты P равны (-1;2;1) и Q равны

Чтобы найти уравнение сферы, соответствующей данному отрезку PQ, мы можем использовать следующие шаги:

1. Найдите радиус сферы, который равен половине длины отрезка PQ. Для этого мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Расстояние между двумя точками P(x₁, y₁, z₁) и Q(x₂, y₂, z₂) вычисляется по формуле:
$$d=\sqrt{(x₂-x₁{)}^2+(y₂-y₁{)}^2+(z₂-z₁{)}^2}$$

В данном случае, координаты P равны (-1,2,1) и Q равны (0,3,2), поэтому путем подстановки в формулу получаем:
$$d=\sqrt{(0-(-1){)}^2+(3-2{)}^2+(2-1{)}^2}=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$$

Таким образом, радиус сферы, соответствующей отрезку PQ, равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдите координаты центра сферы. Чтобы определить центр сферы, мы можем найти среднее значение координат точек P и Q, так как центр сферы будет находиться на полпути между ними.

Координаты центра сферы будут равны среднему значению координат P и Q:
$$x_c=\frac{x₁+x₂}{2},y_c=\frac{y₁+y₂}{2},z_c=\frac{z₁+z₂}{2}$$

Подставляя значения координат P(-1,2,1) и Q(0,3,2), получаем:
$$x_c=\frac{-1+0}{2}=-\frac{1}{2},y_c=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2},z_c=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$$

Таким образом, координаты центра сферы равны $-\frac{1}{2},\frac{5}{2},\frac{3}{2}$.

3. Напишите уравнение сферы, используя радиус и координаты центра.

Уравнение сферы имеет вид:
$$(x-x_c{)}^2+(y-y_c{)}^2+(z-z_c{)}^2=r^2$$

где $x_c$, $y_c$, $z_c$ - координаты центра сферы, а $r$ - радиус сферы.

Подставляя значения радиуса и координат центра, получаем:
$$(x+\frac{1}{2}{)}^2+(y-\frac{5}{2}{)}^2+(z-\frac{3}{2}{)}^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2$$

После раскрытия скобок и упрощения получаем окончательное уравнение сферы:
$$x^2+y^2+z^2+x+5y-3z+\frac{7}{2}=\frac{3}{4}$$

Это и есть искомое уравнение сферы, соответствующей отрезку PQ с заданными координатами P(-1,2,1) и Q(0,3,2).