Каковы уравнения всех сфер с радиусом, которые соответствуют отрезку PQ, если координаты P равны (-1;2;1) и Q равны

Чтобы найти уравнение сферы, соответствующей данному отрезку PQ, мы можем использовать следующие шаги:

1. Найдите радиус сферы, который равен половине длины отрезка PQ. Для этого мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Расстояние между двумя точками P(x₁, y₁, z₁) и Q(x₂, y₂, z₂) вычисляется по формуле:
\[d = \sqrt{{(x₂-x₁)^2 + (y₂-y₁)^2 + (z₂-z₁)^2}}\]

В данном случае, координаты P равны (-1,2,1) и Q равны (0,3,2), поэтому путем подстановки в формулу получаем:
\[d = \sqrt{{(0-(-1))^2 + (3-2)^2 + (2-1)^2}} = \sqrt{{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \sqrt{{3}}\]

Таким образом, радиус сферы, соответствующей отрезку PQ, равен \(\frac{{\sqrt{{3}}}}{2}\).

2. Найдите координаты центра сферы. Чтобы определить центр сферы, мы можем найти среднее значение координат точек P и Q, так как центр сферы будет находиться на полпути между ними.

Координаты центра сферы будут равны среднему значению координат P и Q:
\[x_c = \frac{{x₁ + x₂}}{2}, \quad y_c = \frac{{y₁ + y₂}}{2}, \quad z_c = \frac{{z₁ + z₂}}{2}\]

Подставляя значения координат P(-1,2,1) и Q(0,3,2), получаем:
\[x_c = \frac{{-1 + 0}}{2} = -\frac{{1}}{2}, \quad y_c = \frac{{2 + 3}}{2} = \frac{{5}}{2}, \quad z_c = \frac{{1 + 2}}{2} = \frac{{3}}{2}\]

Таким образом, координаты центра сферы равны \(-\frac{{1}}{2}, \frac{{5}}{2}, \frac{{3}}{2}\).

3. Напишите уравнение сферы, используя радиус и координаты центра.

Уравнение сферы имеет вид:
\[(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 + (z - z_c)^2 = r^2\]

где \(x_c\), \(y_c\), \(z_c\) - координаты центра сферы, а \(r\) - радиус сферы.

Подставляя значения радиуса и координат центра, получаем:
\[(x + \frac{{1}}{2})^2 + (y - \frac{{5}}{2})^2 + (z - \frac{{3}}{2})^2 = (\frac{{\sqrt{{3}}}}{2})^2\]

После раскрытия скобок и упрощения получаем окончательное уравнение сферы:
\[x^2 + y^2 + z^2 + x + 5y - 3z + \frac{{7}}{2} = \frac{{3}}{4}\]

Это и есть искомое уравнение сферы, соответствующей отрезку PQ с заданными координатами P(-1,2,1) и Q(0,3,2).