Каковы стороны четырехугольника, подобного данному, если его периметр равен 216 см? Во сколько раз площадь второго

Данная задача требует вычисления сторон четырехугольника, подобного данному, а также определения отношения площадей двух подобных четырехугольников.

Периметр четырехугольника равен сумме длин его сторон. Пусть стороны данного четырехугольника равны \(a\), \(b\), \(c\), и \(d\) (в порядке обхода фигуры). Тогда имеем уравнение:
\[a + b + c + d = 216\, \text{см}\]

Четырехугольники называются подобными, если соответствующие углы равны, а отношение длин соответствующих сторон постоянно. Таким образом, отношение длин соответствующих сторон двух подобных четырехугольников будет одинаковым.

Пусть стороны старого четырехугольника равны \(a\), \(b\) и стороны нового четырехугольника равны \(x\) и \(y\). Тогда имеем уравнение отношения длин сторон:
\[\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\]
или
\[ay = bx\]

Мы можем выразить одну из переменных через другую:
\[x = \frac{ay}{b}\]

Теперь мы можем подставить это значение в уравнение для периметра и решить его относительно \(y\):
\[a + b + \frac{ay}{b} + y = 216\]
\[a + b + \frac{ay}{b} + y - 216 = 0\]
\[a + \frac{ay}{b} + (b + y) - 216 = 0\]
\[a + \frac{ay}{b} + b + y = 216\]
\[y\left(1 + \frac{a}{b}\right) + \left(a + b\right) - 216 = 0\]
\[y\left(\frac{a+b}{b}\right) + \left(a + b\right) - 216 = 0\]

Таким образом, мы получили квадратное уравнение относительно \(y\), которое можно решить с помощью квадратного корня. Вычислите значения \(x\) и \(y\) и найдите длины сторон нового четырехугольника.

Чтобы определить отношение площадей двух четырехугольников, сначала найдем площади обоих фигур. Воспользуемся формулой для площади четырехугольника. Пусть площадь первого четырехугольника равна \(S_1\), а площадь второго четырехугольника равна \(S_2\). Имеем:
\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \angle A\]
\[S_2 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y \cdot \sin \angle A\]

Заметим, что площади подобных фигур относятся как квадраты отношений соответствующих сторон. То есть:
\[\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{x}{a}\right)^2\]

Теперь, найдя значения \(x\) и \(y\) и подставив их в формулу, мы можем определить, во сколько раз площадь второго четырехугольника больше площади первого.