Каковы скорости двух мотоциклистов, выехавших из двух городов а и в, расстояние между которыми составляет 110

Для решения этой задачи воспользуемся принципом равенства произведения скорости и времени для движения на фиксированное расстояние. Обозначим скорость первого мотоциклиста через \(v_1\) и второго мотоциклиста через \(v_2\). Также введем время, прошедшее с момента начала движения, до встречи, через \(t\).

За полчаса первый мотоциклист проехал расстояние, равное произведению его скорости на время, то есть \(v_1 \cdot \frac{1}{2}\). Оставшееся расстояние между мотоциклистами до встречи составляет 25 км.

Тогда введем уравнение для первого мотоциклиста:
\[v_1 \cdot \frac{1}{2} + 25 = 110 - v_1 \cdot t\]

Для второго мотоциклиста аналогично:
\[v_2 \cdot \frac{1}{2} + 25 = 110 - v_2 \cdot t\]

Из условия задачи известно, что скорость одного из мотоциклистов на 10 км/ч больше, чем скорость другого. Пусть \(v_1\) - скорость мотоциклиста с большей скоростью, тогда \(v_2 = v_1 - 10\).

Подставим это значение в уравнение второго мотоциклиста:
\[(v_1 - 10) \cdot \frac{1}{2} + 25 = 110 - (v_1 - 10) \cdot t\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(v_1\) и \(t\)). Решим эту систему уравнений.

Распишем первое уравнение:
\[v_1 \cdot \frac{1}{2} + 25 = 110 - v_1 \cdot t\]
\[v_1 \cdot \frac{1}{2} + v_1 \cdot t = 110 - 25\]
\[v_1 \cdot \left(\frac{1}{2} + t\right) = 85\]
\[v_1 = \frac{85}{\frac{1}{2} + t}\]

Распишем второе уравнение:
\[(v_1 - 10) \cdot \frac{1}{2} + 25 = 110 - (v_1 - 10) \cdot t\]
\[(v_1 - 10) \cdot \frac{1}{2} + (v_1 - 10) \cdot t = 85\]
\[(v_1 - 10) \cdot \left(\frac{1}{2} + t\right) = 85\]
\[(v_1 - 10) = \frac{85}{\frac{1}{2} + t}\]
\[v_1 = \frac{85}{\frac{1}{2} + t} + 10\]

Оба выражения для \(v_1\) равны, поэтому:
\[\frac{85}{\frac{1}{2} + t} = \frac{85}{\frac{1}{2} + t} + 10\]

Выразим значение \(t\):
\[\frac{1}{2} + t = 10\]
\[t = 10 - \frac{1}{2}\]
\[t = \frac{19}{2}\]

Теперь, чтобы найти значения скоростей \(v_1\) и \(v_2\), подставим \(t\) в любое из уравнений для \(v_1\):
\[v_1 = \frac{85}{\frac{1}{2} + t} = \frac{85}{\frac{1}{2} + \frac{19}{2}} = \frac{85}{10} = 8.5 \, \text{км/ч}\]

Таким образом, скорость первого мотоциклиста составляет 8.5 км/ч. Скорость второго мотоциклиста можно найти, зная, что \(v_2 = v_1 - 10\):
\[v_2 = 8.5 - 10 = -1.5 \, \text{км/ч}\]

Получается, что скорость второго мотоциклиста равна -1.5 км/ч. Отрицательное значение скорости не имеет физического смысла, поэтому второй мотоциклист на самом деле стоит на месте.

Итак, первый мотоциклист движется со скоростью 8.5 км/ч, а второй мотоциклист стоит на месте.