Каковы шансы того, что Ваня и Таня будут стоять рядом на утреннике в детском саду, где 15 воспитанников участвуют

Для решения данной задачи, нам необходимо определить общее количество возможных расстановок всех 15 воспитанников в хороводе и количество расстановок, при которых Ваня и Таня стоят рядом.

1. Общее количество возможных расстановок:
Для первого воспитанника в хороводе, мы имеем 15 возможностей выбора. Для второго воспитанника остается 14 вариантов, для третьего 13 и так далее, до последнего, для которого останется выбрать 1 позицию. Следовательно, общее количество возможных расстановок равно \(15 \times 14 \times 13 \times \ldots \times 1 = 15!\) (факториал числа 15).

2. Количество расстановок, при которых Ваня и Таня стоят рядом:
Поскольку Ваня и Таня должны стоять рядом, мы можем рассматривать их как один блок. Тогда у нас есть 14 "воспитанников" (13 обычных воспитанников и 1 блок Ваня-Таня), которые мы можем расставить в хороводе. Количество возможных расстановок для этих 14 "воспитанников" равно \(14!\).

3. Расчёт шансов:
Теперь, чтобы найти шансы, что Ваня и Таня стоят рядом, мы должны разделить количество расстановок, при которых Ваня и Таня стоят рядом, на общее количество возможных расстановок:
\[
\text{Шансы} = \frac{\text{Количество расстановок, при которых Ваня и Таня стоят рядом}}{\text{Общее количество возможных расстановок}} = \frac{14!}{15!} = \frac{1}{15}
\]

Таким образом, шансы того, что Ваня и Таня будут стоять рядом на утреннике в детском саду составляют \(\frac{1}{15}\) или примерно 6.67%.