Каковы радиус и высота конуса, если его образующая равна 3 корня из 2, а угол при вершине составляет

Для решения данной задачи мы можем использовать связь между образующей, радиусом и высотой конуса. Образующая конуса - это отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой, находящейся на основании и перпендикулярной ему. Также, радиус конуса является радиусом основания конуса, а высота - это отрезок, соединяющий вершину конуса с серединой основания и перпендикулярный ему.

Из геометрической интерпретации угла при вершине известно, что он определяет отношение между радиусом и образующей конуса. Точнее, это отношение равно \( \cos(\alpha) = \frac{r}{l} \), где \( r \) - радиус конуса, \( l \) - образующая конуса, а \( \alpha \) - угол при вершине.

Из условия задачи нам известно, что образующая равна \( l = 3 \sqrt{2} \). Остается найти радиус и высоту конуса. Приступим к решению.

Для начала, найдем радиус. Расположим его на основании конуса, так чтобы радиус был перпендикулярен образующей. Так как угол при вершине известен, мы можем применить тригонометрический закон для него:
\[ \cos(\alpha) = \frac{r}{l} \]

Подставим известные значения:
\[ \frac{r}{3 \sqrt{2}} = \cos(\alpha) \]

Теперь, найдем выражение для радиуса:
\[ r = 3 \sqrt{2} \cos(\alpha) \]

Используя тригонометрическую функцию косинуса, получим:
\[ r = 3 \sqrt{2} \cos(\alpha) = 3 \sqrt{2} \cos(60^\circ) \]

Вычислим значение косинуса 60 градусов:
\[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \]

Подставим данное значение в формулу для радиуса:
\[ r = 3 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, радиус конуса равен \( \frac{3 \sqrt{2}}{2} \).

Теперь найдем высоту конуса. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, примененной к треугольнику, образованному образующей, радиусом и высотой конуса:
\[ l^2 = r^2 + h^2 \]

Подставим известные значения:
\[ (3 \sqrt{2})^2 = (\frac{3 \sqrt{2}}{2})^2 + h^2 \]

Упростим уравнение:
\[ 18 = \frac{9}{2} + h^2 \]

Перенесем члены на одну сторону:
\[ h^2 = 18 - \frac{9}{2} \]

Вычислим значение:
\[ h^2 = \frac{36}{2} - \frac{9}{2} = \frac{27}{2} \]

Извлекаем квадратный корень для нахождения высоты конуса:
\[ h = \sqrt{\frac{27}{2}} = \frac{3 \sqrt{6}}{2} \]

Таким образом, высота конуса равна \( \frac{3 \sqrt{6}}{2} \).

Итак, ответ: радиус конуса равен \( \frac{3 \sqrt{2}}{2} \), а высота конуса равна \( \frac{3 \sqrt{6}}{2} \).