Докажите, что векторы m, n и k компланарны. Найдите зависимость между этими векторами

Чтобы доказать, что векторы m, n и k компланарны, мы должны показать, что они лежат в одной плоскости или, другими словами, что можно представить один из этих векторов линейной комбинацией двух других.

Итак, пусть у нас есть векторы \(m = \begin{bmatrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \end{bmatrix}\), \(n = \begin{bmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{bmatrix}\) и \(k = \begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{bmatrix}\).

Чтобы показать, что они компланарны, мы можем найти такие числа \(a\) и \(b\), что:

\[am + bn = k\]

Таким образом, нам нужно решить систему уравнений:

\[
\begin{align*}
am_1 + bn_1 &= k_1 \\
am_2 + bn_2 &= k_2 \\
am_3 + bn_3 &= k_3 \\
\end{align*}
\]

Давайте выполним преобразования и найдем значения \(a\) и \(b\).

Выразим \(a\) из первого уравнения:

\[a = \frac{{k_1 - bn_1}}{{m_1}}\]

Подставим это значение \(a\) во второе уравнение:

\[\frac{{k_1 - bn_1}}{{m_1}}m_2 + bn_2 = k_2\]

Умножим оба выражения на \(m_1\):

\[k_1m_2 - bn_1m_2 + bn_2m_1 = k_2m_1\]

Теперь выразим \(b\):

\[b = \frac{{k_2m_1 - k_1m_2}}{{n_1m_2 - n_2m_1}}\]

Подставим это значение \(b\) в третье уравнение:

\[\frac{{k_1 - \frac{{k_2m_1 - k_1m_2}}{{n_1m_2 - n_2m_1}}n_1}}{{m_1}}m_3 + \frac{{k_2m_1 - k_1m_2}}{{n_1m_2 - n_2m_1}}n_3 = k_3\]

Умножим оба выражения на \(n_1m_2 - n_2m_1\):

\[
\begin{align*}
&(k_1 - \frac{{k_2m_1 - k_1m_2}}{{n_1m_2 - n_2m_1}}n_1)m_3 + (k_2m_1 - k_1m_2)n_3 = k_3(n_1m_2 - n_2m_1) \\
&k_1m_3 - \frac{{k_2m_1 - k_1m_2}}{{n_1m_2 - n_2m_1}}n_1m_3 + k_2m_1n_3 - k_1m_2n_3 = k_3n_1m_2 - k_3n_2m_1 \\
&k_1m_3 + k_2m_1n_3 = k_3n_1m_2 - k_3n_2m_1 + \frac{{k_2m_1 - k_1m_2}}{{n_1m_2 - n_2m_1}}n_1m_3 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, мы нашли линейную комбинацию векторов \(m\), \(n\) и \(k\):

\[k = k_3n_1m_2 - k_3n_2m_1 + \frac{{k_2m_1 - k_1m_2}}{{n_1m_2 - n_2m_1}}n_1m_3\]

Это доказывает, что векторы \(m\), \(n\) и \(k\) компланарны. Зависимость между этими векторами можно выразить с помощью данной линейной комбинации.