Каковы площади вписанного и описанного кругов вокруг равностороннего треугольника с радиусом вписанного круга, равным

Для решения этой задачи нам понадобится знание свойств равностороннего треугольника и круга.

Пусть радиус вписанного круга равен \(r\). Тогда для равностороннего треугольника сторона также равна \(r\), и мы можем найти его площадь следующим образом.

В равностороннем треугольнике у каждой стороны высота, которая является биссектрисой и медианой одновременно. Поэтому мы можем разделить равносторонний треугольник на три равных высоты и получить три равнобедренных треугольника. Зная формулу площади равнобедренного треугольника, можно определить площадь одного такого треугольника, а затем умножить его на три, чтобы получить площадь всего равностороннего треугольника.

Формула площади равнобедренного треугольника с основанием \(b\) и высотой \(h\) имеет вид:

\[S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h\]

Так как каждая сторона равностороннего треугольника является основанием равнобедренного треугольника, а высота равна одно третье длины медианы, то:

\[b = r\]
\[h = \frac{2}{3} \cdot r\]

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[S_{\text{треугольника}} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot r \cdot \frac{2}{3} \cdot r\right) = r^2\]

Теперь рассмотрим описанный круг вокруг равностороннего треугольника. Радиус описанного круга равен половине длины стороны треугольника, то есть \(r\). Площадь круга можно найти с помощью формулы:

\[S_{\text{круга}} = \pi \cdot r^2\]

Таким образом, площадь описанного круга равна \(\pi \cdot r^2\).

Также нам нужно найти площадь вписанного круга.

У вписанного круга радиуса \(r\) можно провести радиусы из центра круга до точек касания с треугольником. Эти радиусы являются одновременно биссектрисами и медианами треугольника, а также перпендикулярны сторонам треугольника. При этом сегменты, образованные этими радиусами и сторонами треугольника, разделяют каждую сторону на две равные части.

Также из свойств равностороннего треугольника следует, что угол, образованный любой стороной и линией, соединяющей ее касание с вписанным кругом, равен 60 градусам.

Это означает, что такие сегменты сторон треугольника на самом деле являются радиусами вписанного круга, а их длина равна \(r\).

Проведя радиус из центра вписанного круга к треугольнику, мы разобьем треугольник на три равных сегмента и три равнобедренных треугольника. Каждый из этих треугольников мы рассчитали выше и получили, что его площадь равна \(r^2\).

Таким образом, площадь вписанного круга равна \(3 \cdot r^2\).

Итак, площадь вписанного круга равна \(3 \cdot r^2\), а площадь описанного круга равна \(\pi \cdot r^2\).