Какой объем имеет меньший шаровой сегмент, отсекаемый от шара, если площадь поверхности шара известна и сечение

Хорошо! Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть \(S\) - площадь поверхности шара, которая нам известна, и \(V\) - объем шарового сегмента, который мы хотим найти.

По определению шарового сегмента, он образуется сечением шара, перпендикулярным его диаметру. В данном случае, сечение делит диаметр в отношении 1:3.

Первым шагом, давайте найдем радиус шара. Поскольку площадь поверхности шара известна, мы можем использовать формулу для площади поверхности шара:

\[S = 4\pi r^2\]

где \(\pi\) - это математическая константа, примерное значение которой равно 3.14, а \(r\) - радиус шара.

Для нахождения радиуса \(r\), выразим его из этой формулы:

\[r = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}\]

Теперь, найдя радиус шара, нам необходимо найти высоту \(h\) шарового сегмента. Обратите внимание, что сечение делит диаметр шара в отношении 1:3, а значит, диаметр делится на 4 равные части, из которых нам интересна одна.

Так как диаметр это двухкратный радиус, то его длина равна \(2r\). Поскольку сечение делит диаметр в отношении 1:3, то мы можем найти длину интересующей нас части диаметра следующим образом:

\[h = \frac{2r}{4} = \frac{r}{2}\]

Теперь, у нас есть радиус \(r\) и высота \(h\) шарового сегмента.

Для того чтобы найти объем \(V\) шарового сегмента, используем формулу для объема конуса:

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]

Заменяем значения \(r\) и \(h\):

\[V = \frac{1}{3}\pi\left(\sqrt{\frac{S}{4\pi}}\right)^2\left(\frac{\sqrt{\frac{S}{4\pi}}}{2}\right)\]

\[V = \frac{1}{3}\pi\frac{S}{4\pi}\cdot\frac{S}{4\pi}\cdot\frac{1}{2}\]

\[V = \frac{1}{3}\pi\frac{S^2}{32\pi^2}\]

Упростим эту формулу:

\[V = \frac{S^2}{96\pi}\]

Таким образом, мы получили формулу для вычисления объема меньшего шарового сегмента, отсекаемого от шара. Эта формула имеет вид:

\[V = \frac{S^2}{96\pi}\]

Надеюсь, что объяснение было достаточно подробным и понятным. Если у вас есть еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!