Каковы площади боковой и полной поверхности призмы с основанием в форме правильного n-угольника, сторона которого равна

Для решения этой задачи нам потребуется знание формул для нахождения площади боковой поверхности и полной поверхности призмы. Давайте начнем с площади боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности призмы с основанием в форме правильного n-угольника равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Формула для нахождения периметра основания правильного n-угольника:

\[P = n \cdot a\]

Где P - периметр, n - количество сторон и a - длина стороны основания.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности для каждого случая задачи:

а) Для n=3, a=5, h=10:
Сначала найдем периметр основания:
\[P = 3 \cdot 5 = 15\]

Теперь найдем площадь боковой поверхности:
\[S_{\text{бок}} = P \cdot h = 15 \cdot 10 = 150\]

б) Для n=4, a=10, h=30:
Сначала найдем периметр основания:
\[P = 4 \cdot 10 = 40\]

Теперь найдем площадь боковой поверхности:
\[S_{\text{бок}} = P \cdot h = 40 \cdot 30 = 1200\]

в) Для n=6, a=18, h=32:
Сначала найдем периметр основания:
\[P = 6 \cdot 18 = 108\]

Теперь найдем площадь боковой поверхности:
\[S_{\text{бок}} = P \cdot h = 108 \cdot 32 = 3456\]

г) Для n=5, a=16, h=25:
Сначала найдем периметр основания:
\[P = 5 \cdot 16 = 80\]

Теперь найдем площадь боковой поверхности:
\[S_{\text{бок}} = P \cdot h = 80 \cdot 25 = 2000\]

Теперь перейдем к нахождению полной площади поверхности призмы.

Полная площадь поверхности призмы состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований.

Формула для нахождения площади основания правильного n-угольника:

\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{4} \cdot n \cdot a^2 \cdot \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)\]

где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания, n - количество сторон и a - длина стороны основания.

Если у нас правильный n-угольник, то площади оснований будут одинаковыми.

Теперь мы можем найти полную площадь поверхности для каждого случая задачи:

а) Для n=3, a=5, h=10:
Найдем площадь основания:
\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot \cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot 25 \cdot \sqrt{3} = \frac{75\sqrt{3}}{4}\]

Теперь найдем полную площадь поверхности:
\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S_{\text{осн}} = 150 + 2 \cdot \frac{75\sqrt{3}}{4} = 150 + \frac{150\sqrt{3}}{4} = 150 + 37.5\sqrt{3} \approx 213.97\]

Итак, площадь боковой поверхности призмы равна 150, а полная площадь поверхности призмы равна примерно 213.97.

б) Для n=4, a=10, h=30:
Найдем площадь основания:
\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot 10^2 \cdot \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot 100 \cdot 1 = 100\]

Теперь найдем полную площадь поверхности:
\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S_{\text{осн}} = 1200 + 2 \cdot 100 = 1200 + 200 = 1400\]

Итак, площадь боковой поверхности призмы равна 1200, а полная площадь поверхности призмы равна 1400.

в) Для n=6, a=18, h=32:
Найдем площадь основания:
\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{4} \cdot 6 \cdot 18^2 \cdot \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{4} \cdot 6 \cdot 324 \cdot \sqrt{3} = 486\sqrt{3}\]

Теперь найдем полную площадь поверхности:
\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S_{\text{осн}} = 3456 + 2 \cdot 486\sqrt{3} = 3456 + 972\sqrt{3} \approx 4754.9\]

Итак, площадь боковой поверхности призмы равна 3456, а полная площадь поверхности призмы равна примерно 4754.9.

г) Для n=5, a=16, h=25:
Найдем площадь основания:
\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{4} \cdot 5 \cdot 16^2 \cdot \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{1}{4} \cdot 5 \cdot 256 \cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}} = 320\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}\]

Теперь найдем полную площадь поверхности:
\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S_{\text{осн}} = 2000 + 2 \cdot 320\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}} = 2000 + 640\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}} \approx 2498.99\]

Итак, площадь боковой поверхности призмы равна 2000, а полная площадь поверхности призмы равна примерно 2498.99.

Вот пошаговое решение для каждого случая задачи. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать.