Каковы площадь поверхности и объём четырехугольной пирамиды МАВСД, если сторона основания равна 4 см, апофема наклонена

Чтобы найти площадь поверхности и объем четырехугольной пирамиды, нам понадобится знать формулы для рассчета данных параметров.

1. Найдем площадь поверхности пирамиды. Площадь поверхности пирамиды состоит из площади её основания и боковой поверхности. Формула для площади боковой поверхности четырехугольной пирамиды: \(S_{бок} = \frac{1}{2}P_l \cdot a\), где \(P_l\) - периметр параллелограмма основания, а \(a\) - апофема (расстояние от середины стороны основания до вершины пирамиды). В нашем случае, сторона основания равна 4 см, поэтому \(P_l = 4 \cdot 4 = 16\) см. Значение апофемы \(a\) мы не знаем, поэтому необходимо его найти.

2. Чтобы найти апофему пирамиды, воспользуемся прямоугольным треугольником, образованным стороной основания, апофемой и радиусом вписанной окружности. Мы знаем, что апофема наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов, что означает, что треугольник, образованный апофемой, радиусом и поверхностью пирамиды, является прямоугольным. Также нам известно, что радиус вписанной окружности равен половине диагонали параллелограмма, а значит, равен \(\frac{4}{2} = 2\) см.

3. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(2\) см и углом при основании \(60\) градусов, используем тригонометрический тангенс, чтобы найти значение апофемы. Формула для тангенса угла в прямоугольном треугольнике: \(\tan\theta = \frac{противолежащий\,катет}{прилежащий\,катет}\). В нашем случае, апофема является противолежащим катетом, а прилежащим катетом является половина стороны основания. Поэтому \(\tan60 = \frac{a}{2} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 2\sqrt{3}\) см.

4. Теперь, когда мы знаем значение апофемы (\(a = 2\sqrt{3}\) см), можем рассчитать площадь боковой поверхности пирамиды. Подставим известные значения в формулу для площади боковой поверхности: \(S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\) см².

5. Чтобы найти площадь основания пирамиды, воспользуемся формулой для площади параллелограмма, так как основание пирамиды - четырехугольник, у которого две стороны равны 4 см. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле \(S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin\theta\), где \(a\) и \(b\) - стороны параллелограмма, а \(\theta\) - угол между этими сторонами. В нашем случае, \(a = b = 4\) см (значения сторон основания), а \(\theta = 60\) градусов (угол между сторонами основания). Подставим все значения в формулу и вычислим площадь основания: \(S_{осн} = 4 \cdot 4 \cdot \sin60 = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\) см².

6. Итак, площадь поверхности пирамиды равна сумме площади её основания и боковой поверхности: \(S_{пов} = S_{осн} + S_{бок} = 8\sqrt{3} + 16\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\) см².

7. Чтобы найти объем пирамиды, воспользуемся формулой: \(V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h\), где \(S_{осн}\) - площадь основания, а \(h\) - высота пирамиды. Из геометрии четырехугольной пирамиды, мы знаем, что высота пирамиды - это отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью основания и перпендикулярный этой плоскости. Так как пирамида правильная, высота будет равна апофеме. Поэтому в нашем случае, \(h = a = 2\sqrt{3}\) см.

8. Подставим все известные значения в формулу для объема пирамиды и вычислим объем: \(V = \frac{1}{3} \cdot 8\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3}\) см³.

Таким образом, площадь поверхности четырехугольной пирамиды МАВСД равна \(24\sqrt{3}\) см², а объем пирамиды равен \(16\sqrt{3}\) см³.