Каковы острые углы прямоугольного треугольника FKM, если его гипотенуза равна 48 и площадь треугольника равна 288?

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства прямоугольных треугольников. В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это наибольшая сторона, а два острых угла являются острыми углами треугольника.

Нам известны два условия: гипотенуза треугольника равна 48 и площадь треугольника равна 288.

Для начала найдем длины катетов. Поскольку площадь треугольника вычисляется как половина произведения длин катетов, у нас есть формула:

\[\text{{Площадь}} = \frac{1}{2} \cdot \text{{катет1}} \cdot \text{{катет2}}\]

Подставим известные значения:

\(288 = \frac{1}{2} \cdot \text{{катет1}} \cdot \text{{катет2}}\)

Решим это уравнение для катетов и найдем их значения. В данном случае есть несколько вариантов, но самый простой способ - перебор возможных значений.

Попробуем разные значения катетов и найдем те, для которых площадь равна 288:

\(\text{{катет1}} = 16\) и \(\text{{катет2}} = 36\)

или

\(\text{{катет1}} = 36\) и \(\text{{катет2}} = 16\)

Поскольку порядок значений катетов влияет только на направление острого угла, мы получаем два варианта для острого угла:

\(\angle F = \arctan(\frac{{16}}{{36}})\)

и

\(\angle F = \arctan(\frac{{36}}{{16}})\)

Таким образом, синус острого угла F равен \(\frac{{16}}{{48}}\) и \(\frac{{36}}{{48}}\), что примерно равно \(\frac{{1}}{{3}}\) и \(\frac{{3}}{{4}}\) соответственно.

Теперь найдем значения острых углов, используя формулу:

\(\angle F = \arcsin(\frac{{16}}{{48}})\) и \(\angle K = 90^\circ - \angle F\)

\(\angle F \approx 19.47^\circ\) и \(\angle K \approx 70.53^\circ\)

Таким образом, значения острых углов прямоугольного треугольника FKM равны примерно \(19.47^\circ\) и \(70.53^\circ\).

Ответ: \(19.47;70.53\)