Каковы максимальное и минимальное значения функции y=20⋅sin7x+21⋅cos7x?

Для нахождения максимальных и минимальных значений функции \(y = 20\sin(7x) + 21\cos(7x)\) мы можем использовать метод нахождения экстремумов функции. Для начала вспомним, что функции \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\) являются периодическими функциями с периодом \(2\pi\). Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что исследуемая функция также будет иметь период \(2\pi\).

Итак, наша задача - найти максимальное и минимальное значение функции \(y\) на одном периоде. Для этого мы сначала найдем точки, в которых функция достигает своих максимальных и минимальных значений внутри одного периода.

1) Найдем точки, в которых производная функции равна нулю. Для этого возьмем производную и приравняем ее к нулю:

\[
\frac{dy}{dx} = 20 \cdot 7 \cos(7x) - 21 \cdot 7 \sin(7x) = 0
\]

Упростив выражение, получим:

\[
\cos(7x) = \frac{21}{20}\sin(7x)
\]

Данное уравнение выполняется только при определенных значениях \(x\), соответствующих точкам, в которых функция достигает своих экстремальных значений. Для нахождения этих значений, можем поделить обе части уравнения на \(\sin(7x)\):

\[
\frac{\cos(7x)}{\sin(7x)} = \frac{21}{20}
\]

Используя формулу тангенса двойного угла, получим:

\[
\tan(7x) = \frac{21}{20}
\]

Теперь найдем значения \(x\), для которых выполняется данное уравнение. Поскольку тангенс является периодической функцией с периодом \(\pi\), то в общем случае решение данного уравнения можно представить так:

\[
7x = \arctan\left(\frac{21}{20}\right) + k\pi, \quad k \in Z
\]

Далее, чтобы найти конкретные значения \(x\), нам нужно разделить оба выражения на 7:

\[
x = \frac{\arctan\left(\frac{21}{20}\right) + k\pi}{7}, \quad k \in Z
\]

Таким образом, получаем бесконечное количество решений для значения \(x\) в интервале одного периода.

2) Теперь остается вычислить значения функции \(y\) в найденных точках (максимальных и минимальных), чтобы определить максимальное и минимальное значение функции \(y\). Для этого подставим найденные значения \(x\) в исходную функцию \(y = 20\sin(7x) + 21\cos(7x)\).

Таким образом, максимальное и минимальное значения функции \(y\) будут равны:

Максимальное значение:
\[
y_{\max} = 20\sin(7x_{\max}) + 21\cos(7x_{\max})
\]

Минимальное значение:
\[
y_{\min} = 20\sin(7x_{\min}) + 21\cos(7x_{\min})
\]

Где \(x_{\max}\) и \(x_{\min}\) - значения \(x\) при которых \(y\) достигает максимального и минимального значения соответственно.

Пожалуйста, обратите внимание, что точные значения \(x_{\max}\) и \(x_{\min}\) представляют собой бесконечную последовательность, так как функция является периодической. Однако, мы можем конкретизировать значения \(y_{\max}\) и \(y_{\min}\) при подстановке конкретных \(x\) в исходную функцию. Конкретные значения максимального и минимального значения функции \(y\) можете найти самостоятельно, подставив найденные \(x\) в исходное уравнение.