Каковы максимальное и минимальное значения функции f(x)=2x^3+3x^2-36x на интервале [-4

Для того чтобы найти максимальное и минимальное значения функции \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x \) на интервале \([-4, b]\), нам необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите критические точки, где производная функции равна нулю или не существует.

Для этого возьмем производную функции \( f(x) \) и приравняем ее к нулю:
\[ f"(x) = 6x^2 + 6x - 36 = 0 \]

Далее решим это уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение или факторизацию для нахождения корней. В этом случае, мы можем факторизовать уравнение:
\[ 6x^2 + 6x - 36 = 0 \]
\[ 2x^2 + 2x - 12 = 0 \]
\[ 2(x^2 + x - 6) = 0 \]
\[ 2(x + 3)(x - 2) = 0 \]

Теперь мы имеем два корня: \( x = -3 \) и \( x = 2 \). Это критические точки функции.

Шаг 2: Определите значения функции в критических точках и на концах интервала.

Выполним подстановку критических точек и границ интервала в функцию \( f(x) \) для определения значений функции в этих точках.

Подставим \( x = -4 \) в \( f(x) \):
\[ f(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 36(-4) = -208 \]

Подставим \( x = -3 \) в \( f(x) \):
\[ f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) = 99 \]

Подставим \( x = 2 \) в \( f(x) \):
\[ f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2) = 8 + 12 - 72 = -52 \]

Шаг 3: Сравните найденные значения функции и определите максимальное и минимальное значения.

Мы получили значения функции на границах интервала и в критических точках. Максимальное значение будет равно наибольшему значению из всех полученных значений, а минимальное значение - наименьшему.

Мы получили следующие значения функции:
- При \( x = -4 \) значение функции \( f(x) = -208 \)
- При \( x = -3 \) значение функции \( f(x) = 99 \)
- При \( x = 2 \) значение функции \( f(x) = -52 \)

Исходя из этих значений, максимальное значение функции \( f(x) \) на интервале \([-4, b]\) будет равно 99, а минимальное значение будет равно -208.

Таким образом, максимальное значение функции \( f(x) \) на заданном интервале равно 99, а минимальное значение равно -208.