Каковы линейные размеры прямоугольного параллелепипеда, у которого диагонали трех граней, сходящихся в одной вершине

Для решения этой задачи нам потребуется использовать теорему Пифагора и знание о трехмерной геометрии.

Дано: диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 10 см и 12 см.

У нас есть теорема Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Применяя эту теорему к каждой грани параллелепипеда, получаем следующие уравнения:

1) \(a^2 + b^2 = 8^2\)
2) \(a^2 + c^2 = 10^2\)
3) \(b^2 + c^2 = 12^2\)

Мы должны решить эту систему уравнений для определения значений сторон \(a\), \(b\) и \(c\).

Решим первое уравнение относительно \(b^2\):
\(b^2 = 8^2 - a^2\)

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
\(a^2 + c^2 = 10^2\) \(\Rightarrow\) \(a^2 + c^2 = 100\)

Также подставим выражение для \(b^2\) из первого уравнения в третье уравнение:
\(b^2 + c^2 = 12^2\) \(\Rightarrow\) \(8^2 - a^2 + c^2 = 144\)

Совместим два уравнения и решим относительно \(a^2\):
\(a^2 + c^2 = 100\) \(\Rightarrow\) \(a^2 = 100 - c^2\)
\(8^2 - a^2 + c^2 = 144\) \(\Rightarrow\) \(a^2 = 64 + c^2\)

Приравняем оба выражения для \(a^2\):
\(100 - c^2 = 64 + c^2\)
\(2c^2 = 36\)
\(c^2 = 18\)
\(c = \sqrt{18} \approx 4.24\)

Теперь найдем \(a\) с использованием первого уравнения:
\(a^2 + b^2 = 8^2\) \(\Rightarrow\) \(a^2 + (8^2 - a^2) = 64\) \(\Rightarrow\) \(a^2 = 36\) \(\Rightarrow\) \(a = \sqrt{36} = 6\)

Наконец, посчитаем \(b\) по теореме Пифагора:
\(b^2 = 8^2 - a^2\) \(\Rightarrow\) \(b^2 = 64 - 36\) \(\Rightarrow\) \(b = \sqrt{28} \approx 5.29\)

Таким образом, линейные размеры прямоугольного параллелепипеда, у которого диагонали трех граней равны 8 см, 10 см и 12 см, примерно равны 6 см, 5.29 см и 4.24 см соответственно.