Каковы координаты точек С и D параллелограмма АВСD, если известны следующие данные: точки А (-2; -4; 1) и В (-5; -6; -1) являются вершинами параллелограмма, а точка О (1; 3; 2) является точкой пересечения его диагоналей?
Золотой_Горизонт
Чтобы найти координаты точек C и D параллелограмма ABCD, нам сначала необходимо найти координаты точки O. Так как точка O является точкой пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, мы можем использовать среднюю точку двух диагоналей, чтобы найти координаты O.
Для нахождения координат O, мы можем найти среднюю точку между точками A и C. Формула для нахождения средней точки между двумя точками (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) следующая:
\[x_{о} = \frac{x₁ + x₂}{2}\]
\[y_{о} = \frac{y₁ + y₂}{2}\]
\[z_{о} = \frac{z₁ + z₂}{2}\]
Применяя эту формулу, мы можем найти значение точки O:
\[x_{о} = \frac{(-2) + x_{с}}{2}\]
\[y_{о} = \frac{(-4) + y_{с}}{2}\]
\[z_{о} = \frac{1 + z_{с}}{2}\]
Также, точка O является точкой пересечения диагоналей, поэтому мы можем использовать формулу для нахождения средней точки между точками B и D:
\[x_{о} = \frac{(-5) + x_{д}}{2}\]
\[y_{о} = \frac{(-6) + y_{д}}{2}\]
\[z_{о} = \frac{(-1) + z_{д}}{2}\]
Теперь у нас есть два уравнения для координат точки O. Мы можем решить их, чтобы найти значения \(x_{с}\), \(y_{с}\), \(z_{с}\), \(x_{д}\), \(y_{д}\) и \(z_{д}\).
Сначала объединим выражения для \(x_{о}\):
\[\frac{(-2) + x_{с}}{2} = \frac{(-5) + x_{д}}{2}\]
Раскроем скобки:
\[-2 + x_{с} = -5 + x_{д}\]
Теперь перенесём \(x_{с}\) и \(x_{д}\) в одну сторону:
\[x_{с} - x_{д} = -5 + 2\]
\[x_{с} - x_{д} = -3 \quad (1)\]
Теперь объединим выражения для \(y_{о}\):
\[\frac{(-4) + y_{с}}{2} = \frac{(-6) + y_{д}}{2}\]
Раскроем скобки:
\[-4 + y_{с} = -6 + y_{д}\]
Перенесём \(y_{с}\) и \(y_{д}\) в одну сторону:
\[y_{с} - y_{д} = -6 + 4\]
\[y_{с} - y_{д} = -2 \quad (2)\]
И, наконец, объединим выражения для \(z_{о}\):
\[\frac{1 + z_{с}}{2} = \frac{(-1) + z_{д}}{2}\]
Раскроем скобки:
\[1 + z_{с} = -1 + z_{д}\]
Перенесём \(z_{с}\) и \(z_{д}\) в одну сторону:
\[z_{с} - z_{д} = -1 - 1\]
\[z_{с} - z_{д} = -2 \quad (3)\]
Итак, у нас есть система из трёх уравнений:
\[x_{с} - x_{д} = -3\]
\[y_{с} - y_{д} = -2\]
\[z_{с} - z_{д} = -2\]
Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Давайте найдём значение одной переменной через другую, например, \(x_{с}\) через \(x_{д}\) с помощью уравнения (1):
\[x_{с} = x_{д} - 3\]
Теперь, чтобы найти значение каждой переменной, мы можем подставить это выражение в уравнения (2) и (3) и решить их.
\[y_{с} - y_{д} = -2 \quad (2)\]
\[z_{с} - z_{д} = -2 \quad (3)\]
Подставим значение \(x_{с}\) в уравнение (2):
\[(x_{д} - 3) - y_{д} = -2\]
Раскроем скобки:
\[x_{д} - 3 - y_{д} = -2\]
Перенесём \(x_{д}\) и \(y_{д}\) в одну сторону:
\[x_{д} - y_{д} = -2 + 3\]
\[x_{д} - y_{д} = 1 \quad (4)\]
Теперь подставим значение \(x_{с}\) в уравнение (3):
\[(x_{д} - 3) - z_{д} = -2\]
Раскроем скобки:
\[x_{д} - 3 - z_{д} = -2\]
Перенесём \(x_{д}\) и \(z_{д}\) в одну сторону:
\[x_{д} - z_{д} = -2 + 3\]
\[x_{д} - z_{д} = 1 \quad (5)\]
Итак, у нас есть два уравнения для \(x_{д}\), \(y_{д}\) и \(z_{д}\), уравнение (4) и уравнение (5). Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы узнать значения \(x_{д}\), \(y_{д}\) и \(z_{д}\).
Сложим уравнения (4) и (5):
\[(x_{д} - y_{д}) + (x_{д} - z_{д}) = 1 + 1\]
\[2x_{д} - y_{д} - z_{д} = 2 \quad (6)\]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\[x_{д} - y_{д} = 1 \quad (4)\]
\[2x_{д} - y_{д} - z_{д} = 2 \quad (6)\]
Решим эту систему уравнений. Вычтем уравнение (4) из уравнения (6):
\[(2x_{д} - y_{д} - z_{д}) - (x_{д} - y_{д}) = 2 - 1\]
\[2x_{д} - y_{д} - z_{д} - x_{д} + y_{д} = 1\]
\[(2 - 1)x_{д} + (-1 + 1)y_{д} + (-1)z_{д} = 1\]
\[x_{д} - z_{д} = 1 \quad (7)\]
Теперь у нас есть уравнение (7), которое может помочь нам найти значение \(x_{д}\) и \(z_{д}\).
Аналогично, вычтем уравнение (4) из уравнения (5):
\[(x_{д} - z_{д}) - (x_{д} - y_{д}) = 1 - 1\]
\[(x_{д} - z_{д}) - x_{д} + y_{д} = 0\]
\[(1 - 1)x_{д} + (1 - 1)y_{д} + (-1)z_{д} = 0\]
\[-z_{д} = 0\]
\[z_{д} = 0\]
Теперь, подставим значение \(z_{д}\) в уравнение (7):
\[x_{д} - 0 = 1\]
\[x_{д} = 1\]
Таким образом, мы нашли, что \(x_{д} = 1\) и \(z_{д} = 0\).
Теперь, чтобы найти значение \(y_{д}\), мы можем подставить найденные значения \(x_{д}\) и \(z_{д}\) в любое из исходных уравнений, например, уравнение (4):
\[x_{д} - y_{д} = 1\]
\[1 - y_{д} = 1\]
\[y_{д} = 0\]
Таким образом, мы нашли, что \(x_{д} = 1\), \(y_{д} = 0\) и \(z_{д} = 0\).
Теперь мы знаем координаты точек C и D параллелограмма ABCD. Координаты точки C: (1, 0, 0), а координаты точки D: (1, 0, 0).
Для нахождения координат O, мы можем найти среднюю точку между точками A и C. Формула для нахождения средней точки между двумя точками (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) следующая:
\[x_{о} = \frac{x₁ + x₂}{2}\]
\[y_{о} = \frac{y₁ + y₂}{2}\]
\[z_{о} = \frac{z₁ + z₂}{2}\]
Применяя эту формулу, мы можем найти значение точки O:
\[x_{о} = \frac{(-2) + x_{с}}{2}\]
\[y_{о} = \frac{(-4) + y_{с}}{2}\]
\[z_{о} = \frac{1 + z_{с}}{2}\]
Также, точка O является точкой пересечения диагоналей, поэтому мы можем использовать формулу для нахождения средней точки между точками B и D:
\[x_{о} = \frac{(-5) + x_{д}}{2}\]
\[y_{о} = \frac{(-6) + y_{д}}{2}\]
\[z_{о} = \frac{(-1) + z_{д}}{2}\]
Теперь у нас есть два уравнения для координат точки O. Мы можем решить их, чтобы найти значения \(x_{с}\), \(y_{с}\), \(z_{с}\), \(x_{д}\), \(y_{д}\) и \(z_{д}\).
Сначала объединим выражения для \(x_{о}\):
\[\frac{(-2) + x_{с}}{2} = \frac{(-5) + x_{д}}{2}\]
Раскроем скобки:
\[-2 + x_{с} = -5 + x_{д}\]
Теперь перенесём \(x_{с}\) и \(x_{д}\) в одну сторону:
\[x_{с} - x_{д} = -5 + 2\]
\[x_{с} - x_{д} = -3 \quad (1)\]
Теперь объединим выражения для \(y_{о}\):
\[\frac{(-4) + y_{с}}{2} = \frac{(-6) + y_{д}}{2}\]
Раскроем скобки:
\[-4 + y_{с} = -6 + y_{д}\]
Перенесём \(y_{с}\) и \(y_{д}\) в одну сторону:
\[y_{с} - y_{д} = -6 + 4\]
\[y_{с} - y_{д} = -2 \quad (2)\]
И, наконец, объединим выражения для \(z_{о}\):
\[\frac{1 + z_{с}}{2} = \frac{(-1) + z_{д}}{2}\]
Раскроем скобки:
\[1 + z_{с} = -1 + z_{д}\]
Перенесём \(z_{с}\) и \(z_{д}\) в одну сторону:
\[z_{с} - z_{д} = -1 - 1\]
\[z_{с} - z_{д} = -2 \quad (3)\]
Итак, у нас есть система из трёх уравнений:
\[x_{с} - x_{д} = -3\]
\[y_{с} - y_{д} = -2\]
\[z_{с} - z_{д} = -2\]
Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Давайте найдём значение одной переменной через другую, например, \(x_{с}\) через \(x_{д}\) с помощью уравнения (1):
\[x_{с} = x_{д} - 3\]
Теперь, чтобы найти значение каждой переменной, мы можем подставить это выражение в уравнения (2) и (3) и решить их.
\[y_{с} - y_{д} = -2 \quad (2)\]
\[z_{с} - z_{д} = -2 \quad (3)\]
Подставим значение \(x_{с}\) в уравнение (2):
\[(x_{д} - 3) - y_{д} = -2\]
Раскроем скобки:
\[x_{д} - 3 - y_{д} = -2\]
Перенесём \(x_{д}\) и \(y_{д}\) в одну сторону:
\[x_{д} - y_{д} = -2 + 3\]
\[x_{д} - y_{д} = 1 \quad (4)\]
Теперь подставим значение \(x_{с}\) в уравнение (3):
\[(x_{д} - 3) - z_{д} = -2\]
Раскроем скобки:
\[x_{д} - 3 - z_{д} = -2\]
Перенесём \(x_{д}\) и \(z_{д}\) в одну сторону:
\[x_{д} - z_{д} = -2 + 3\]
\[x_{д} - z_{д} = 1 \quad (5)\]
Итак, у нас есть два уравнения для \(x_{д}\), \(y_{д}\) и \(z_{д}\), уравнение (4) и уравнение (5). Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы узнать значения \(x_{д}\), \(y_{д}\) и \(z_{д}\).
Сложим уравнения (4) и (5):
\[(x_{д} - y_{д}) + (x_{д} - z_{д}) = 1 + 1\]
\[2x_{д} - y_{д} - z_{д} = 2 \quad (6)\]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\[x_{д} - y_{д} = 1 \quad (4)\]
\[2x_{д} - y_{д} - z_{д} = 2 \quad (6)\]
Решим эту систему уравнений. Вычтем уравнение (4) из уравнения (6):
\[(2x_{д} - y_{д} - z_{д}) - (x_{д} - y_{д}) = 2 - 1\]
\[2x_{д} - y_{д} - z_{д} - x_{д} + y_{д} = 1\]
\[(2 - 1)x_{д} + (-1 + 1)y_{д} + (-1)z_{д} = 1\]
\[x_{д} - z_{д} = 1 \quad (7)\]
Теперь у нас есть уравнение (7), которое может помочь нам найти значение \(x_{д}\) и \(z_{д}\).
Аналогично, вычтем уравнение (4) из уравнения (5):
\[(x_{д} - z_{д}) - (x_{д} - y_{д}) = 1 - 1\]
\[(x_{д} - z_{д}) - x_{д} + y_{д} = 0\]
\[(1 - 1)x_{д} + (1 - 1)y_{д} + (-1)z_{д} = 0\]
\[-z_{д} = 0\]
\[z_{д} = 0\]
Теперь, подставим значение \(z_{д}\) в уравнение (7):
\[x_{д} - 0 = 1\]
\[x_{д} = 1\]
Таким образом, мы нашли, что \(x_{д} = 1\) и \(z_{д} = 0\).
Теперь, чтобы найти значение \(y_{д}\), мы можем подставить найденные значения \(x_{д}\) и \(z_{д}\) в любое из исходных уравнений, например, уравнение (4):
\[x_{д} - y_{д} = 1\]
\[1 - y_{д} = 1\]
\[y_{д} = 0\]
Таким образом, мы нашли, что \(x_{д} = 1\), \(y_{д} = 0\) и \(z_{д} = 0\).
Теперь мы знаем координаты точек C и D параллелограмма ABCD. Координаты точки C: (1, 0, 0), а координаты точки D: (1, 0, 0).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
