Каковы интервалы монотонного изменения функции y = (1/3)x^3 - (1/2)x^2

Чтобы определить интервалы монотонного изменения функции \(y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2\), мы должны проанализировать производную функции и выяснить знаки производной. Если производная положительна, то функция возрастает на соответствующем интервале, если производная отрицательна, то функция убывает на соответствующем интервале.

Давайте найдем производную функции \(y\). Рассмотрим каждый член функции по отдельности:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}} \left( \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 \right)
\]

Применим правило дифференцирования степенной функции и константы:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x^3) - \frac{1}{2} \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x^2)
\]

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} \cdot 2x
\]

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = x^2 - x
\]

Теперь мы имеем производную функции \(y\): \(\frac{{dy}}{{dx}} = x^2 - x\).

Чтобы узнать, на каких интервалах производная положительна или отрицательна, равенство производной нулю ищем точки перегиба или экстремумы функции:

\[
x^2 - x = 0
\]

\[
x(x - 1) = 0
\]

Таким образом, у нас есть две точки, где производная может менять знак, \(x = 0\) и \(x = 1\).

Теперь, чтобы определить интервалы монотонности, мы должны проверить знаки производной на разных участках числовой оси.

1. Для интервала \((-\infty, 0)\):
Подставим произвольное отрицательное значение, например, \(-1\), в производную:

\[
(-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2
\]

Значит, производная положительна. Это означает, что функция \(y\) возрастает на данном интервале.

2. Для интервала \((0, 1)\):
Подставим произвольное положительное значение, например, \(0.5\), в производную:

\[
(0.5)^2 - (0.5) = 0.25 - 0.5 = -0.25
\]

Значение отрицательно, следовательно, производная отрицательна на данном интервале, и это означает, что функция \(y\) убывает.

3. Для интервала \((1, +\infty)\):
Подставим произвольное положительное значение, например, \(2\), в производную:

\[
(2)^2 - (2) = 4 - 2 = 2
\]

Значение положительное, поэтому производная положительна. Функция \(y\) возрастает на данном интервале.

Таким образом, мы можем сделать следующие выводы:

- Функция \(y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2\) возрастает на интервале \((-\infty, 0)\).
- Функция \(y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2\) убывает на интервале \((0, 1)\).
- Функция \(y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2\) возрастает на интервале \((1, +\infty)\).