Каковы характеристики функции с графиком y = -x^4 + 8x^2

Хорошо, давайте рассмотрим характеристики функции с графиком \(y = -x^4 + 8x^2\).

Шаг 1: Значения функции при \(x = 0\)

Для начала, давайте найдем значения функции при \(x = 0\). Подставляя \(x = 0\) в уравнение, мы получаем:

\[y = -0^4 + 8 \cdot 0^2\]

Данный результат равен 0, так как любая степень числа 0 равна 0. Таким образом, точка (0, 0) является точкой пересечения графика функции с осью OY.

Шаг 2: Знак производной функции

Чтобы определить поведение функции в зависимости от значения аргумента, найдем знак производной функции. Производная функции \(y = -x^4 + 8x^2\) равна:

\[\frac{dy}{dx} = -4x^3 + 16x\]

Для определения знака данной производной найдем ее корни. Это можно сделать, приравняв производную функции к нулю:

\[-4x^3 + 16x = 0\]

Вынося общий множитель, мы получим:

\[4x(-x^2 + 4) = 0\]

Таким образом, имеем два случая:

1) \(4x = 0\) – решение данного уравнения: \(x = 0\).
2) \(-x^2 + 4 = 0\) – решение данного уравнения: \(x = \pm 2\).

Таким образом, на числовой прямой можно разделить исследуемый интервал на три области: \((-\infty, -2)\), \((-2, 0)\), \((0, 2)\) и \((2, +\infty)\).

Подставив значения из каждого интервала в производную функции, можно узнать знак производной на каждом промежутке:

При \(x < -2\): \(4x(-x^2 + 4) < 0\), так как \(4x < 0\) и \(-x^2 + 4 > 0\). Таким образом, производная отрицательна на этом интервале.

При \(-2 < x < 0\): \(4x(-x^2 + 4) > 0\), так как и \(4x\) и \(-x^2 + 4\) положительны. Значит, производная функции на этом интервале положительна.

При \(0 < x < 2\): \(4x(-x^2 + 4) > 0\), так как \(4x > 0\) и \(-x^2 + 4 > 0\). Таким образом, производная функции на этом интервале положительна.

При \(x > 2\): \(4x(-x^2 + 4) < 0\), так как и \(4x\) и \(-x^2 + 4\) отрицательны. Значит, производная функции на этом интервале отрицательна.

Шаг 3: Экстремумы и выпуклость функции

Для определения экстремумов и выпуклости функции рассмотрим её вторую производную. Вторая производная функции \(y = -x^4 + 8x^2\) равна:

\[\frac{d^2y}{dx^2} = -12x^2 + 16\]

Для того чтобы найти точки экстремума, приравняем вторую производную к нулю:

\[-12x^2 + 16 = 0\]

Решая данное уравнение, мы получим два значения: \(x = -\sqrt{\frac{4}{3}}\) и \(x = \sqrt{\frac{4}{3}}\).

Анализируя знак второй производной в каждом интервале, получаем:

При \(x < -\sqrt{\frac{4}{3}}\): \(-12x^2 + 16 > 0\), так как и \(-12x^2\) и \(16\) положительны. Значит, в этом интервале функция выпукла вверх.
При \(-\sqrt{\frac{4}{3}} < x < \sqrt{\frac{4}{3}}\): \(-12x^2 + 16 < 0\), так как \(-12x^2 < 16\). Значит, в этом интервале функция выпукла вниз.
При \(x > \sqrt{\frac{4}{3}}\): \(-12x^2 + 16 > 0\). Таким образом, на этом интервале функция выпукла вверх.

Шаг 4: Наклон графика

Теперь давайте проанализируем наклон графика функции. Для этого найдем предел функции при \(x\) стремящемся к \(+\infty\) и \(-\infty\).

\[ \lim_{x \to +\infty} (-x^4 + 8x^2) = -\infty \]
\[ \lim_{x \to -\infty} (-x^4 + 8x^2) = -\infty \]

Это означает, что график функции стремится вниз при \(x\) стремящемся к \(+\infty\) и \(-\infty\).

Шаг 5: Суммируем все результаты

Итак, характеристики функции с графиком \(y = -x^4 + 8x^2\) можно описать следующим образом:

- Точка пересечения с осью OY: (0,0).
- Интервалы возрастания функции: \((-2,0)\) и \((0,2)\).
- Интервалы убывания функции: \((-\infty, -2)\) и \((2, +\infty)\).
- Точки экстремума: \(-\sqrt{\frac{4}{3}}\) и \(\sqrt{\frac{4}{3}}\).
- Интервалы выпуклости функции: \((-\infty, -\sqrt{\frac{4}{3}})\) и \((\sqrt{\frac{4}{3}}, +\infty)\).
- Интервалы вогнутости функции: \(-\sqrt{\frac{4}{3}} < x < \sqrt{\frac{4}{3}}\).
- График функции стремится вниз при \(x\) стремящемся к \(+\infty\) и \(-\infty\).

Надеюсь, это задание поможет вам лучше понять график и характер функции \(y = -x^4 + 8x^2\). Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!