Каковы формулы и объяснение для нахождения радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник?

Перед тем как перейти к формулам, давайте разберемся с определением вписанной окружности и способом ее построения в равнобедренном треугольнике.

Вписанная окружность в треугольник, это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника. Для равнобедренного треугольника, это означает, что окружность касается двух равных сторон и основания треугольника.

Теперь перейдем к формулам. Пусть \(r\) - радиус вписанной окружности, \(a\) - длина основания треугольника, а \(h\) - высота треугольника (проведенная из вершины до основания и перпендикулярная ему).

1. Найдем площадь равнобедренного треугольника:

Площадь треугольника можно найти по формуле: площадь = \(0.5 \times a \times h\), где \(a\) - длина основания, а \(h\) - высота треугольника.

2. Выразим высоту треугольника через радиус вписанной окружности:

В равнобедренном треугольнике проведена высота, она разделяет треугольник на два прямоугольных треугольника. Половина основания треугольника \(a/2\) является катетом, а \(r\) - радиус вписанной окружности, является радиусом описанной окружности около одного из этих треугольников. Используя теорему Пифагора для этого прямоугольного треугольника, можем найти высоту \(h\) следующим образом:

\[h = \sqrt{r^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]

3. Найдем площадь треугольника через радиус вписанной окружности:

Подставим полученное значение для высоты \(h\) в формулу для площади треугольника:

площадь = \(0.5 \times a \times \sqrt{r^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\)

4. Наконец, найдем радиус вписанной окружности:

Чтобы найти радиус вписанной окружности, нужно решить полученное уравнение для площади треугольника относительно \(r\). Производим соответствующие преобразования и получаем следующую формулу:

\(r = \sqrt{\frac{S \times 2}{a + b}}\)

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - длина основания треугольника, а \(b\) - длина его боковой стороны.

Теперь у нас есть формула для радиуса вписанной окружности в равнобедренном треугольнике: \(r = \sqrt{\frac{S \times 2}{a + b}}\).