Каковы длины векторов ∣∣u→+v→∣∣ и ∣∣u→−v→∣∣ в случае, когда векторы u→ и v→ перпендикулярны, а длины ∣∣u→∣∣ и ∣∣v→∣∣

Для начала рассмотрим векторы \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\). Они перпендикулярны, что означает, что угол между ними равен 90 градусам (\(\pi/2\) радиан).

Теперь мы хотим найти длины векторов \(\|\vec{u} + \vec{v}\|\) и \(\|\vec{u} - \vec{v}\|\).

Применим свойства векторов и формулу для нахождения длины вектора:

\(\|\vec{u} + \vec{v}\| = \sqrt{(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})}\)

\(\|\vec{u} - \vec{v}\| = \sqrt{(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})}\)

Так как векторы перпендикулярны, их скалярное произведение будет равно нулю.

Давайте найдем скалярное произведение и вычислим длины векторов:

\((\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + \vec{v} \cdot \vec{v}\)

\((\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + \vec{v} \cdot \vec{v}\)

Теперь подставим значения длин векторов и решим уравнения:

\(\|\vec{u} + \vec{v}\| = \sqrt{(5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 12 \cdot \cos(\pi/2) + 12^2)}\)

\(\|\vec{u} + \vec{v}\| = \sqrt{169} = 13\) см

\(\|\vec{u} - \vec{v}\| = \sqrt{(5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 12 \cdot \cos(\pi/2) + 12^2)}\)

\(\|\vec{u} - \vec{v}\| = \sqrt{49} = 7\) см

Таким образом, длина вектора \(\|\vec{u} + \vec{v}\|\) равна 13 см, а длина вектора \(\|\vec{u} - \vec{v}\|\) равна 7 см.