Каковы длины векторов ∣a→+b→∣ и ∣a→−b→∣, если векторы a→ и b→ расположены на сторонах прямоугольника с общей вершиной

Разберем эту задачу пошагово.

1. Вначале нам нужно найти вектор суммы \(a\to + b\to\). Для этого сложим соответствующие компоненты векторов \(a\to\) и \(b\to\). Пусть это будет вектор \(c\to\).

\[c\to = a_x\to + b_x\to ,\]
\[c\to = a_y\to + b_y\to .\]

Так как векторы \(a\to\) и \(b\to\) расположены на сторонах прямоугольника с общей вершиной, то их компоненты по x и по y будут равны соответственно.

Таким образом, \(c_x\to = a_x\to + b_x\to = a_x\to + (-a_x\to) = 0\) и \(c_y\to = a_y\to + b_y\to = a_y\to + (-a_y\to) = 0\).

Вектор суммы \(c\to\) является нулевым вектором.

2. Теперь найдем длину вектора суммы \(\|a\to + b\to\|\).

По определению длины вектора:

\[\|a\to + b\to\| = \sqrt{c_x\to^2 + c_y\to^2} = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0.\]

Таким образом, длина вектора суммы \(\|a\to + b\to\|\) равна 0.

3. Теперь найдем вектор разности векторов \(a\to\) и \(b\to\). Пусть это будет вектор \(d\to\).

\[d\to = a\to - b\to,\]
\[d_x\to = a_x\to - b_x\to,\]
\[d_y\to = a_y\to - b_y\to.\]

Так как векторы \(a\to\) и \(b\to\) расположены на сторонах прямоугольника с общей вершиной, их компоненты по x и по y будут равны соответственно.

Таким образом, \(d_x\to = a_x\to - b_x\to = a_x\to - (-a_x\to) = 2a_x\to\) и \(d_y\to = a_y\to - b_y\to = a_y\to - (-a_y\to) = 2a_y\to\).

4. Теперь найдем длину вектора разности \(\|a\to - b\to\|\).

По определению длины вектора:

\[\|a\to - b\to\| = \sqrt{d_x\to^2 + d_y\to^2} = \sqrt{(2a_x\to)^2 + (2a_y\to)^2} = \sqrt{4(a_x\to^2 + a_y\to^2)}.\]

Так как известно, что \(\|a\to\| = 8\) см, то \(a_x\to^2 + a_y\to^2 = (\|a\to\|)^2 = 8^2 = 64\).

Тогда, \(\|a\to - b\to\| = \sqrt{4(a_x\to^2 + a_y\to^2)} = \sqrt{4(64)} = \sqrt{256} = 16\).

Таким образом, длина вектора разности \(\|a\to - b\to\|\) равна 16 см.